Prove a relação

Prove a relação =2 , onde é o coeficiente de dilatação superficial e o coeficiente de dilatação linear

Sabendo-se:

α ≡ (1/x).dx/dθ

β ≡ (1/A).dA/dθ

Tem-se:

Seja uma superfície quadrada elementar de lado x e de área A :

A = x²

dA =2x.dx

β = (1/x²).2x.dx/dθ

β = 2 (1/x).dx/dθ

β = 2 α ■

Uma outra forma interessante, mas com um retângulo (Se eu não me engano, vi no halliday!):

Imagine um retângulo dilatado de área inicial A.

Logo, após dilatado, temos A + dA.

A nova área desse retângulo é A+dA = a2*b2. Sendo a1 e b1 as dimensões iniciais do retângulo, temos:

a2 = a1 + (a2-a1)
b2 = b1 + (b2-b1)

A + dA = (a1 + (a2-a1))*(b1 + (b2-b1))
A+ dA = a1*b1 + a1(b2-b1) + b1*(a2-a1) + (a2-a1)*(b2-b1), substituindo a1*b1 = A
A + dA = A + a1*(b2-b1) + b1*(a2-a1) + (a2-a1)*(b2-b1)

Considerando que o lado segue em dilatação linear (considere um material isotrópico - independe da direção da dilatação):

(b2-b1)=alpha*b1*dT e (a2-a1)=alpha*a1*dT

Substituindo a variação das dimensões na equação acima:

A + dA = A + a1*(b2-b1) + b1*(a2-a1) + (a2-a1)*(b2-b1)
dA = a1*(b2-b1) + b1*(a2-a1) + (a2-a1)*(b2-b1)
dA = a1*(alpha*b1*dT) + b1*(alpha*a1*dT) + (alpha*a1*dT)*(alpha*b1*dT)
dA = a1*b1*(alpha*dT) + a1*b1*(alpha*dT) + a1*b1(alpha*dT)²
dA = 2A*(alpha*dT) + A(alpha*dT)²

A segunda parcela é desprezada, por ser um valor absurdamente pequeno, e o resultado é:

dA = 2*alpha*A*dT.

Como dA = beta*A*dT, dA = dA:

beta*A*dT = 2*alpha*A*dT
beta = 2*alpha

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Boa !

Mas o Diego tá no superior, sabe bem o que é derivada e diferencial ...

Obrigado gente pela colaboração, muito boas as explicações!

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