Congruências

Demostrar que para todo n natural verifica-se: 3^(2n + 2 )+ 2^(6n + 1) ≡ 0 (mod. 11). 

Uma das formas que eu gosto de fazer é a partir da indução finita (PIF pros mais íntimos), talvez por um pouco de masoquismo.
1. Como base, usemos n = 0. 3^2 + 2^1 = 9 + 2 = 11, que está dentro do esperado
2. Suponha que para n = p,  3^(2p+2) + 2^(6p + 1) = 11k para algum k natural
3. Para n = p + 1, temos:
3^(2p + 4) + 2^(6p + 7) = 9 . 3^(2p+2) + 64 . 2^(6p+1)
Você não vê daí, mas daqui eu estou sorrindo de orelha a orelha rs
Isso porque 64 = 9 + 55, então posso reescrever minha soma como:
9[3^(2p+2) + 2^(6p+1)] + 55 . 2^(6p+1)
Do passo 2, sei que isso equivale a 9[11k] + 55k'. Ora, a soma é 11[9k + 5k'] = 11K
Então, para n = p + 1, também vale a hipótese inicial, então está provada a tese.