Proporcionalidade e áreas

Considere a assertiva: “a área de um retângulo é diretamente PROPORCIONAL às medidas de seus lados”. Essa afirmativa, que está meio camuflada no famoso “Os Elementos de Euclides” é de extrema utilidade para perceber sacadas essenciais na compreensão do cálculo de Áreas.

Sintetizando: “Chamando de x e y as medidas das dimensões de um retângulo e A(x; y) sua área, escrevemos A(x; y) = x · y · A(1; 1), onde A(1; 1) então, é a área de um retângulo (quadrado) unitário...”

Essa abordagem, quando associada ao estudo de Análise Dimensional, poderosíssimo conceito utilizado fortemente na Física, nos conduz ao fato de que a dimensional de uma área é L² e a dimensional de um volume é L³, significando, em essência, que a medida de áreas é equivalente ao produto de duas dimensões lineares e a medida de volumes, ao produto de três dimensões lineares (cada dimensão representada pela letra L).

Essas considerações nos permitem concluir, por exemplo, que a expressão [latex]\sqrt{abc}[/latex] NÃO é uma expressão válida para o cálculo da área de um triângulo cujos lados medem a, b e c. Considere, então, um triângulo T com as medidas de seus elementos as seguir:
• Lados: a, b, c
• Semiperímetro: p
• Raio do círculo inscrito: r
• Raio do círculo circunscrito: R

Baseado EXCLUSIVAMENTE em considerações de Proporcionalidade e do conceito exposto de Análise Dimensional, assinale qual opção contém uma expressão que NÃO pode representar a área do triângulo T.
A) [latex]pr[/latex]
B) [latex]\sqrt{2p(p-a)(p-b)(p-c)}[/latex]
C) [latex]\sqrt[3]{pabcrR}[/latex]
D) [latex]\frac{r}{R}abc[/latex]
E) [latex]\sqrt{pabc}[/latex]

Todos os elementos usados são lineares: dimensão L. Queremos uma área, dimensão L².

r/R é adimensional, logo é uma constante k.

d) (r/R).abc = k.abc -----> k.[L.L.L] = k.[L³] ---> não expressa uma área.

Todas as outras alternativas resultam em dimensão L².