mdc fundamento
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mdc fundamento
por aug227 Seg 15 Jul 2024, 19:10
Em se tratando de numeros inteiros, se o mdc entre a e b vale m, quanto é o mdc entre a e a + b?
minha solucao: sabemos que a e b tem algum fator comum, mas, no segundo caso a + b n pode ser fatorado, entao o resultado seria 1.
correto?
minha solucao: sabemos que a e b tem algum fator comum, mas, no segundo caso a + b n pode ser fatorado, entao o resultado seria 1.
correto?
aug227- Iniciante
- Mensagens : 23
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Idade : 19
Re: mdc fundamento
por DaoSeek Seg 15 Jul 2024, 20:26
Olá,
não é bem assim. Por exemplo, digamos que a = 10 e b = 15. Nesse caso temos:
mdc(a,b) = mdc(10,15) = 5
mdc(a,a+b) = mdc(10,25) = 5
Ou seja, não é 1.
segue aqui uma possível resposta:
Acontece que mdc(a,b) = mdc(a,a+b) sempre. Pra ver isso, observe que se d é um divisor comum de a e de b, então existem números r,s, tais que:
a = rd
b = sd
Daí, a+b = rd+sd = (r+s)d. Ou seja, a+b também é divisível por d.
Por outro lado, se d é um divisor de a e de a+b, existem números r,s tais que
a = rd
a+b = sd
Daí, b= (a+b)-a = sd - rd = (s-r)d. Ou seja, b também é divisível por d.
Isso que fiz verifica que todos os divisores comuns de 'a' e de 'b' também são divisores comuns de 'a' e 'a+b'. Portanto mdc(a,b) = mdc(a,a+b)
não é bem assim. Por exemplo, digamos que a = 10 e b = 15. Nesse caso temos:
mdc(a,b) = mdc(10,15) = 5
mdc(a,a+b) = mdc(10,25) = 5
Ou seja, não é 1.
segue aqui uma possível resposta:
Acontece que mdc(a,b) = mdc(a,a+b) sempre. Pra ver isso, observe que se d é um divisor comum de a e de b, então existem números r,s, tais que:
a = rd
b = sd
Daí, a+b = rd+sd = (r+s)d. Ou seja, a+b também é divisível por d.
Por outro lado, se d é um divisor de a e de a+b, existem números r,s tais que
a = rd
a+b = sd
Daí, b= (a+b)-a = sd - rd = (s-r)d. Ou seja, b também é divisível por d.
Isso que fiz verifica que todos os divisores comuns de 'a' e de 'b' também são divisores comuns de 'a' e 'a+b'. Portanto mdc(a,b) = mdc(a,a+b)
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
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Re: mdc fundamento
por aug227 Seg 15 Jul 2024, 21:29
DaoSeek escreveu:Olá,
não é bem assim. Por exemplo, digamos que a = 10 e b = 15. Nesse caso temos:
mdc(a,b) = mdc(10,15) = 5
mdc(a,a+b) = mdc(10,25) = 5
Ou seja, não é 1.
segue aqui uma possível resposta:
Acontece que mdc(a,b) = mdc(a,a+b) sempre. Pra ver isso, observe que se d é um divisor comum de a e de b, então existem números r,s, tais que:
a = rd
b = sd
Daí, a+b = rd+sd = (r+s)d. Ou seja, a+b também é divisível por d.
Por outro lado, se d é um divisor de a e de a+b, existem números r,s tais que
a = rd
a+b = sd
Daí, b= (a+b)-a = sd - rd = (s-r)d. Ou seja, b também é divisível por d.
Isso que fiz verifica que todos os divisores comuns de 'a' e de 'b' também são divisores comuns de 'a' e 'a+b'. Portanto mdc(a,b) = mdc(a,a+b)
aug227- Iniciante
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