Determinar o valor de x

Dado o quadrilátero ABCD com:
ADC=90∘  
CBA = 60º 
DAB = 60º

• O segmento AB=8
  
• O segmento BC=2
  
  
• Encontre o valor de x que representa o comprimento do segmento AD
  

Uma figura para ajudar:

Eu entendi que a soma de todos os ângulos dá 360º, só não ficou muito claro para mim como você achou as parcelas do ângulo DCA.

Eu sei que no triangulo ABC, 60º + Θ + (parcela do ângulo DCA)= 180º.

Mesma coisa com o outro triângulo ADC, 60-Θ +90º +(Outra parcela do ângulo DCA)= 180º

Como você achou que um ângulo vale 120º - Θ e o outro 30º+Θ?

Eu arbitrei CÂB = θ ---> 

DÂC = DÂB - CÂB ---> DÂC = 60º - θ --->

Triângulo retângulo CDA --> CÂD + A^CD = 90º --> (60º - θ) + A^CD = 90º 

A^CD = θ + 30º

Agora é contigo.

Excelente solução Raimundo!

Elcioschin escreveu:Eu arbitrei CÂB = θ ---> 

DÂC = DÂB - CÂB ---> DÂC = 60º - θ --->

Triângulo retângulo CDA --> CÂD + A^CD = 90º --> (60º - θ) + A^CD = 90º 

A^CD = θ + 30º

Agora é contigo.

Muito obrigado pela explicação Elcio!

Mais uma dúvida minha...

Nessa parte, quando substituímos o cos 120º por 1/2, não deveria ser - 1/2? Pelo fato dele estar no segundo quadrante?




Ficando 4senΘ= √3/2 . cosΘ - (-1/2) . senΘ

Certo? Ou eu tô fazendo abobrinha

Minha tangente deu √3/7

Sim, vc está certo: eu esqueci do sinal negativo do cos120º

Mostre o passo-a-passo da sua solução, com esta correção, para podermos conferir e para que os demais usuários aprendam com ela.

Certo! 
Sabemos que a tanΘ vale √3/7.
Tan=sen/cos ---> SenΘ = tanΘ . cosΘ

Agora eu pensei em usar a identidade fundamental:
sen² +cos²= 1
(√3/7 . cos)²+ cos² =1
3/49 . cos² + 49/49 cos² = 1
52/40 cos² =1
cosΘ = 7/2√13

Agora podemos voltar para:
SenΘ = tanΘ . cosΘ
SenΘ = √3/7 . 7/2√13
SenΘ = √3/2√13

Tudo certo até aqui?  

Agora vou usar a lei dos senos para calcular o lado AC:
AC/60º = 2/Θ 
AC/√3/2 = 2/√3/2√13
AC . 2/√3 = 2 . 2√13/√3
Então eu racionalizei o denominador de ambos os lados, vai ficar nos dois lados divido por 3, então eu multipliquei tudo por 3 sumindo com ele. Por último eu dividi por 2√3, obtendo meu resultado AC como 2√13

Vamos voltar agora para o triângulo ADC e vamos calcular quanto vale 60 - Θ, utilizando
cos(60º - Θ) = cos60º . cos Θ + sen60º . senΘ
cos(60 - Θ) = 1/2 . 7/2√13 + √3/2 . √3/2√13
cos(60 - Θ) = 5/2√13

Agora simplesmente vou usar a fórmula cos(60-Θ)= cateto adjacente/ Hipotenusa.
Como já temos o valor de cos(60-Θ) e a hipotenusa.
5/2√13=x/2√13
Multiplicando ambos os lados por 2√13, ficamos com x=5, batendo com a resposta do Raimundo.