fluxo térmico

Quatro hastes cilíndricas de metal são soldadas como mostra a figura a seguir:

As áreas transversais são iguais. As condutividades térmicas das barras 1, 2, 3 e 4 valem, respectivamente K,1, K2, K3 e K4. Os comprimentos das barras 1, 2, 3 e 4 valem, respectivamente L1, L2, L3 e L4, sendo esses comprimentos, nessa ordem, elementos de uma progressão aritmética de elemento inicial L = L e razão L. As pontas das barras estão em contato com fontes térmicas cujas temperaturas são mostradas na figura. Após um longo tempo, a temperatura da junção das barras tenderá corretamente para qual valor? Considere as fontes térmicas com capacidades térmicas infinitas.

gab.:20(12k1 + 30k2 + 20k3 + 3k4)/12k1 + 6k2 + 4k3 + 3k4

Após um longo tempo se estabelecerá um fluxo contínuo entre as barras, com o ponto de junção possuindo uma temperatura T. Como há um fluxo contínuo, a soma de todos os fluxos que entram ou saem da junção deve ser igual a zero.
As dimensões da barra estão em uma PA de razão L, logo os comprimentos serão L, 2L, 3L e 4L.
Considerando os fluxos saindo da junção:
[latex] \phi _1 +\phi _2 +\phi _3 +\phi _4 =0 \\
\frac{k_1A(T - 20)}{L} + \frac{k_2A(T - 100)}{2L} +\frac{k_3A(T - 100)}{3L} + \frac{k_4A(T - 20)}{4L} =0 \\
\frac{k_1(T - 20)}{1} + \frac{k_2(T - 100)}{2} + \frac{k_3(T - 100)}{3} + \frac{k_4(T - 20)}{4}=0 \\
\mathrm{Fazendo \:\: o \:\: MMC:} \\
T(12k_1 + 6k_2+4k_3+3k_4) - 240k_1 - 600k_2-400k_3-60k_4=0 \\
T = \frac{20(12k_1 + 30k_2+20k_3+3k_4)}{12k_1 + 6k_2+4k_3+3k_4} [/latex]