Teorema de Bayes
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Teorema de Bayes
por Jorge Marcelo Da Costa Sáb 17 Fev 2024, 23:30
Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 3 brancas. Uma bola é selecionada aleatoriamente da urna e abandonada, e duas de outra cor são colocadas na urna. Uma segunda bola é selecionada da urna. Encontre a probabilidade de que:
se a segunda bola é vermelha, qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha? Gostaria de saber como fazer essa questão pelo teorema de Bayes.
se a segunda bola é vermelha, qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha? Gostaria de saber como fazer essa questão pelo teorema de Bayes.
Jorge Marcelo Da Costa- Jedi
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Re: Teorema de Bayes
por Vitor Ahcor Dom 18 Fev 2024, 13:56
Em uma análise inicial, é observado que:
I) Se a primeira bola retirada for branca, na segunda retirada teremos como opções 7 bolas vermelhas e 2 bolas brancas.
II) Se a primeira bola retirada for vermelha, na segunda retirada teremos como opções 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas.
Vamos calcular a probabilidade da segunda bola ser vermelha da seguinte forma:
\[ P(2ª \ Vermelha) = P(1ª \ Branca \cap 2ª \ Vermelha) + P(1ª \ Vermelha \cap 2ª \ Vermelha) \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = P(1ª \ Branca) \times P'(2ª \ Vermelha) + P(1ª \ Vermelha) \times P''(2ª \ Vermelha) \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{9} + \frac{5}{8} \times \frac{4}{9} \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = \frac{41}{72} \]
Então, a probabilidade da primeira bola ser vermelha, dado que a segunda também é vermelha, é dada por:
\[ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{P(1ª \ Vermelha \cap 2ª \ Vermelha)}{P(2ª \ Vermelha)} \]
\[ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{\frac{5 \times 4}{72}}{\frac{3 \times 7 + 5 \times 4}{72}} \]
\[ \fbox{$ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{20}{41}$} \].
I) Se a primeira bola retirada for branca, na segunda retirada teremos como opções 7 bolas vermelhas e 2 bolas brancas.
II) Se a primeira bola retirada for vermelha, na segunda retirada teremos como opções 4 bolas vermelhas e 5 bolas brancas.
Vamos calcular a probabilidade da segunda bola ser vermelha da seguinte forma:
\[ P(2ª \ Vermelha) = P(1ª \ Branca \cap 2ª \ Vermelha) + P(1ª \ Vermelha \cap 2ª \ Vermelha) \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = P(1ª \ Branca) \times P'(2ª \ Vermelha) + P(1ª \ Vermelha) \times P''(2ª \ Vermelha) \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = \frac{3}{8} \times \frac{7}{9} + \frac{5}{8} \times \frac{4}{9} \]
\[ P(2ª \ Vermelha) = \frac{41}{72} \]
Então, a probabilidade da primeira bola ser vermelha, dado que a segunda também é vermelha, é dada por:
\[ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{P(1ª \ Vermelha \cap 2ª \ Vermelha)}{P(2ª \ Vermelha)} \]
\[ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{\frac{5 \times 4}{72}}{\frac{3 \times 7 + 5 \times 4}{72}} \]
\[ \fbox{$ P(1ª \ Vermelha | 2ª \ Vermelha ) = \frac{20}{41}$} \].
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