manipulacao equacional

por aug227 Sáb 10 Fev 2024, 18:31

Hello guys!

Tenho uma duvida que reside nesta questao: "Se -2x + 1 é um fator de -6x^3+11x^2-2x+k, encontre o valor de 2k."
Gabarito: A -> -9 B -> 9 C -> -6 D -> -3 E -> -2

De cara percebemos que o quociente dessa divisao, n ira resultar em um polinomio, e muito menos no monomio 2k. Portanto, optei em obter o resto:

P(x) = (x-a).Q+R -> x = a
P(a) = R

a = -1
portanto: k + 1 -> k = -1 -> 2k = -2

E tive como resultado -2. Porem, n estou muito crente, de que esta manipulacao seja valida na matematica classica.

por **Giovana Martins** Sáb 10 Fev 2024, 18:57

aug227 escreveu:Hello guys!

Tenho uma duvida que reside nesta questao:

De cara percebemos que o quociente dessa divisao, n ira resultar em um polinomio, e muito menos no monomio 2k. Portanto, optei em obter o resto:

E tive como resultado -2. Porem, n estou muito crente, de que esta manipulacao seja valida na matematica classica.

Por favor, digite o enunciado da questão.

Ver regras: https://pir2.forumeiros.com/Regulamentos-h26.htm

por **Giovana Martins** Sáb 10 Fev 2024, 19:56

Para ser sincera, eu não entendi muito bem a sua resolução. Se quiser reformular a sua ideia, fique a vontade para podermos discutir.

Uma resolução possível é a seguinte: quando o enunciado fala que - 2x + 1 é um fator de P(x) = - 6x³ + 11x² - 2x + k, logo, - 2x + 1 = 0, isto é, x = 1/2 é raiz de P(x).

Se x = 1/2 é raiz de P(x), logo, P(1/2) = 0. Portanto: - 6 . (0.5)³ + 11 . (0.5)² - 2 . (0.5) + k = 0, o que acarreta k = - 1.

Deste modo 2k = - 2.

por aug227 Sáb 10 Fev 2024, 20:39

Giovana Martins escreveu:
Para ser sincera, eu não entendi muito bem a sua resolução. Se quiser reformular a sua ideia, fique a vontade para podermos discutir.

Uma resolução possível é a seguinte: quando o enunciado fala que - 2x + 1 é um fator de P(x) = - 6x³ + 11x² - 2x + k, logo, - 2x + 1 = 0, isto é, x = 1/2 é raiz de P(x).

Se x = 1/2 é raiz de P(x), logo, P(1/2) = 0. Portanto: - 6 . (0.5)³ + 11 . (0.5)² - 2 . (0.5) + k = 0, o que acarreta k = - 1.

Deste modo 2k = - 2.

Solução agradável, parabéns!

Minha solução, basicamente consiste no "Teorema fundamental do resto", utilizado para efetuar divisões entre polinômios. Ele diz que P(x) = (x-a).Q+R = P(a), pois manipulando x para a, temos P(a) = R. Portanto: R = k + 1.

Minha duvida consiste, em saber se e correto esta manipulação: k + 1 -> k = -1 -> 2k = -2.

Espero ter deixado mais elucido.

por **Giovana Martins** Dom 11 Fev 2024, 10:49

Está certo. Neste caso você caiu em um corolário do Teorema do Resto, no caso, o Teorema de D'Alembert.

O Teorema do Resto diz que: a divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b deixa resto:

[latex]\\\mathrm{R=P\left ( -\frac{b}{a} \right )}[/latex]

Deste modo, pelo Teorema do resto:

[latex]\\\mathrm{R=P\left ( -\frac{b}{a} \right )=P\left ( -\frac{1}{(-2)} \right )=P\left ( \frac{1}{2} \right )=-6\cdot\left ( \frac{1}{2} \right )^3+11\cdot\left ( \frac{1}{2} \right )^2-2\cdot\left ( \frac{1}{2} \right )+k=k+1}[/latex]

Pela informação do enunciado de que - 2x + 1 é um fator de P(x) surge o corolário do Teorema do Resto, pois o Teorema de D'Alembert diz que a divisão de um polinômio P(x) pelo binômio ax + b deixa resto:

[latex]\\\mathrm{R=P\left ( -\frac{b}{a} \right )=0}[/latex]

Pois neste caso x = 1/2 é raiz de P(x), motivo pelo qual, na sua resolução você fez k + 1 = 0, o que resultou em k = - 1 e, portanto, 2k = - 2.

Na prática, o que eu fiz na minha primeira resolução foi exatamente o que você fez, porém, sem "rodeios".