Teorema Binomial

Encontre o coeficiente de x^14y^10 na expansão de (3x√x²−1 + 2y)²°

Boa tarde.
Quais das duas expressões abaixo o enunciado se refere?
[latex] (3x\sqrt{x^2-1}+2y)^{20} \: \: ou \: \: (3x\sqrt{x^2}-1+2y)^{20} [/latex]

Leonardo Mariano escreveu:Boa tarde.
Quais das duas expressões abaixo o enunciado se refere?
[latex] (3x\sqrt{x^2-1}+2y)^{20} \: \: ou \: \: (3x\sqrt{x^2}-1+2y)^{20} [/latex]

Boa tarde, seria a primeira expressão, com a raiz abrangendo x²-1

Show, a expressão geral desse binômio é a seguinte:
[latex] \frac{20!}{i!j!}(3x\sqrt{x^2-1})^i(2y)^j [/latex]
Como deve aparecer o termo y^10, sabemos que j = 10. Portanto, como i + j = 20, i deve ser igual a 10.
O termo fica assim:
[latex] \frac{20!}{10!10!}(3x\sqrt{x^2-1})^{10}(2y)^{10}= \frac{20!}{10!10!}.3^{10}.2^{10}.y^{10}.x^{10}(\sqrt{x^2-1})^{10} [/latex]
Veja que aparece outro binômio de newton. Para que ocorra x^14, na expansão do novo binômio temos que encontrar o coeficiente do termo que possui x^4, pois no produto de x^10.x^4 aparecerá x^14.
Expandindo o binômio:
[latex] (\sqrt{x^2-1})^{10}=(x^2-1)^5=\frac{5!}{k!l!}(x^2)^k.(-1)^l [/latex]
Para aparecer x^4, k = 2 e l = 3. Ou seja, o coeficiente do termo que possui x^4 é o seguinte:
[latex] \frac{5!}{2!3!}.x^4.(-1)^3=-10x^4 [/latex]
Voltando para o termo geral do binômio principal, queremos apenas o coeficiente do termo em que aparece x^14y^10, portanto, substituindo -10x^4 na expressão original:
[latex] \frac{20!}{10!10!}.3^{10}.2^{10}.y^{10}.x^{10}(\sqrt{x^2-1})^{10}  \\
= \frac{20!}{10!10!}.3^{10}.2^{10}.y^{10}.x^{10}.(-10x^4)
 \\ \therefore -\frac{20!}{10!10!}.3^{10}.2^{10}.10.x^{14}y^{10}  \\ [/latex]

Ou seja, o coeficiente de x^14y^10 é:

[latex] \\ -\frac{20!}{10!10!}.3^{10}.2^{10}.10 [/latex]

Para tirar a prova real, joguei a expressão no Wolfram, veja a expansão neste link: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=Power%5B%5C%2840%293xSqrt%5BPower%5Bx%2C2%5D-1%5D%2B2y%5C%2841%29%2C20%5D
Se você jogar na calculadora a expressão que encontramos, ela baterá com o resultado do Wolfram: -111714888130560x^14y^10.