Teorema binomial

por José Gilvan Jr. Dom 23 Jun 2019, 03:06

Seja S = (de k=1 até k=2020)
\sum K\binom{2020}{K}\binom{2020}{K}
tal que S pode ser representado com um número na forma
a\binom{b}{c}
com a,b,c números naturais tal que a<c, determine a soma dos algarismos de (a+b+c).

Comentário:

Nessa questão eu transformei utilizando a relação de fermat
K\binom{2020}{K}
em:
2020\binom{2019}{K-1}

Logo, temos:
\sum = 2020\binom{2019}{K-1} \binom{2020}{K}

Com isso coloca-se o 2020 para fora da soma e ainda pela relação de Stifeel:
2020\sum = \binom{2019}{K-1} \binom{2020}{K-2020}

Como para K=1 o termo "abaixo" do 2019 zera e o "abaixo" do 2020 fica 2019, e conforme K vai aumentando os valores "de baixo" vão convergindo e ao chegar em K = 2020 o "abaixo do 2019 fica 2019 e o abaixo do "2020" fica 0, logo, temos a relação de Vandermonde (expliquei assim por que não sei mexer com o latex direito ainda):

S = 2020\binom{4039}{2019}

Cometi algum erro até aí? Se não, como faço para transformar e fazer a<c , pois utilizando a relação de Stifeel, 2019 vira 2020 e eles(2020(a) e 2020(c)) são iguais.

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