Geometria Plana; Cálculo da altura.

por kakaneves999@gmail.com Seg 01 Jan 2024, 18:40

Em um triângulo ABC, BC = 12 e AB/AC= 2, calcule o valor
da altura relativa ao lado a, sabendo que ela é máxima
https://i.servimg.com/u/f72/20/53/53/88/morgad11.jpg
Gab; 8

Desde já, agradeço a todos e um próspero ano novo!!!

por **Elcioschin** Seg 01 Jan 2024, 19:43

a = 12 , AB = c , AC = b --> c/b = 2 ---> c = 2.b

Semi-perímetro: p = (a + b + c)/2 = (12 + b + 2.b)/2 = 6 + 3.b/2

S = √[p.(p - a).(p - b).(p - c)] ---> I

S = a.h/2 ---> II

I = II --> Calcule as raízes de b e complete

por kakaneves999@gmail.com Seg 01 Jan 2024, 21:46

Mestre, teria alguma forma de utilizar o princípio da divisão harmônica nesta questão? Obrigado pela resolução do senhor!!!

por **Giovana Martins** Seg 01 Jan 2024, 21:53

Pela sua imagem e pela descrição do link eu acredito que esta questão seja do Morgado. Neste livro há um tópico que fala sobre o Círculo de Apolônio. Nele é apresentada uma demonstração acerca do cálculo que eu fiz abaixo. Para ser honesta, eu não sei demonstrar a ideia. Tenho a fórmula decorada dos tempos que eu estudei esse assunto. Sugiro que dê uma olhada nessa parte da teoria do livro.

[latex]\\\mathrm{h_{m\acute{a}x}=\left ( \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \right )\times \frac{\overline{BC}}{\left |\left ( \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \right )^2-1 \right |}=\frac{2\times 12}{\left |(2)^2-1 \right |}=8}[/latex]

Penso que seja isto.

por **Giovana Martins** Seg 01 Jan 2024, 22:07

Um outro jeito que eu acredito ser possível:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ Pit\acute{a}goras\ no\bigtriangleup ABP: AB^2 =( BC+CP )^2+h_a^2\to AB^2=( 12+CP )^2+h_a^2\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Pit\acute{a}goras\ no\bigtriangleup ACP: AC^2 =CP^2+h_a^2\ \to \frac{1}{4}AB^2=CP^2+h_a^2\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ De\ (i)\ e\ (ii):4CP^2+4h_a^2=144+24CP+CP^2+h_a^2\to h_a( CP )=\sqrt{\underset{f( CP )}{\underbrace{\mathrm{-CP^2+8CP+48}}}}}\\\\ \mathrm{\therefore\ h_a\ \acute{e}\ m\acute{a}ximo\ quando\ f(CP)\ \acute{e}\ m\acute{a}ximo\ \therefore\ h_{a,m\acute{a}x}=\sqrt{-\frac{\Delta }{4a}}=\sqrt{-\frac{( 8 )^2-4\cdot(-1)\cdot( 48 )}{4\cdot ( - 1 )}}=8}[/latex]

por **Giovana Martins** Seg 01 Jan 2024, 22:14

O ponto P é o pé de ha baixada do vértice A.

por kakaneves999@gmail.com Seg 01 Jan 2024, 22:20

Giovana Martins escreveu:
Um outro jeito que eu acredito ser possível:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ Pit\acute{a}goras\ no\bigtriangleup ABP: AB^2 =( BC+CP )^2+h_a^2\to AB^2=( 12+CP )^2+h_a^2\ (i)}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Pit\acute{a}goras\ no\bigtriangleup ACP: AC^2 =CP^2+h_a^2\ \to \frac{1}{4}AB^2=CP^2+h_a^2\ (ii)}\\\\ \mathrm{\ \ \ De\ (i)\ e\ (ii):4CP^2+4h_a^2=144+24CP+CP^2+h_a^2\to h_a( CP )=\sqrt{\underset{f( CP )}{\underbrace{\mathrm{-CP^2+8CP+48}}}}}\\\\ \mathrm{\therefore\ h_a\ \acute{e}\ m\acute{a}ximo\ quando\ f(CP)\ \acute{e}\ m\acute{a}ximo\ \therefore\ h_{a,m\acute{a}x}=\sqrt{-\frac{\Delta }{4a}}=\sqrt{\frac{( 8 )^2-4\cdot(-1)\cdot( 48 )}{4\cdot ( - 1 )}}=8}[/latex]

Excelente resolução, Gi. Obrigado!!! Esta fórmula eu gravei mas não compreendi muito. Ainda bem que eu tenho vocês aqui para chegar ao resultado com n maneiras diferentes. Obrigado mais uma vez!!!

por **Medeiros** Dom 07 Jan 2024, 00:18

kakaneves999@gmail.com escreveu:Mestre, teria alguma forma de utilizar o princípio da divisão harmônica nesta questão? Obrigado pela resolução do senhor!!!

Tem, é a teoria do círculo de Apolônio, veja o vídeo do link abaixo, é uma questão parecidíssima.
https://youtu.be/Q__xd_XvdwI

Também, esta questão do link eu resolvi de três modos diferentes --> https://pir2.forumeiros.com/t173755-enem-bombeiros#606934

Para a questão que você trouxe basta mudar os números: AB = 12. A altura máxima será o raio 8.