(ITA-1963) Um cone equilátero está inscrito numa esfera

por **Jigsaw** Qua 25 Out 2023, 10:30

1.3 – Um cone equilátero está inscrito numa esfera de raio igual a 4 m. Determinar a que distância do centro da esfera deve-se traçar um plano paralelo a base do cone, para que a diferença das secções (na esfera e no cone) seja igual à área da base do cone.

Spoiler:

por **petras** Qua 25 Out 2023, 14:58

Seja o plano PQ

[latex]\\AM = MB = 4.cos30^o =2\sqrt3 \implies l = 2.2\sqrt3=4\sqrt3 \\ S_{(base~coneVAB)} = \pi (2\sqrt3)^2 = 12\pi\\ Cone (VCD)_{equil.}\\ h_{(VCD)} = h=\frac{2x\sqrt{3}}{2} \Rightarrow h=x\sqrt{3} \implies x= \frac{h}{\sqrt3}\\\\ r_{(secao:coneVCD)}=\frac{2x}{2}=x = \frac{h}{\sqrt3}\\ \therefore \underline{A_1=\pi r^2 = \frac{\pi h^2}{3}}\\ \\ \triangle NQO: y^2=R^2-(R-h)^2 = 2Rh-h^2=8h-h^2\\ \underline{A_2=\pi r^2 = \pi(8h-h^2)}\\ Mas:A_2-A_1=12\pi \implies 8h-h^2-\frac{h^2}{3}=12 h = 3\\ d= R-h = 4-3=\boxed{1}[/latex]