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Fatorial e demonstração de padrões

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Mensagem por Ian Fáuzi Sáb 09 Set 2023, 13:41

Seja n Є N*. Considere os produtos:

P=2.4.6.8. ... (2n) e 
I=1.3.5.7.... (2n-1)

a) Demonstre que P = [latex]2^{n}[/latex] .n!

b) Demonstre que |= (2n)!/[latex]2^{n}[/latex].n!



P.S.- a letra "a" até que consegui demonstrar por teste e identificações de padrões, mas na "b" estou sentindo um pouco de dificuldade.
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Mensagem por Medeiros Sáb 09 Set 2023, 15:00

Se você tivesse
Q = 1.2.3.4.5.6.......(2n-1).(2n)
então  Q =2n!
mas também podemos dizer que Q = P.I (dados no enunciado).

Ora, queremos I: e I é
I = Q/P. ----->. I = (2n)!/((2^n).n!)  ......... cqd

________________________________
comentário:

Também pode-se exprimir P e I como duplo fatorial:
P = (2n)!!
I = (2n-1)!!
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Mensagem por tales amaral Dom 10 Set 2023, 15:05

letra a)
"teste e identificações de padrões" não é bem uma técnica de demonstração. Segue por indução:

Para n = 1, temos    [latex] P_1 = 2 = 2^1\cdot1![/latex].

Supondo que vale para n, ou seja     [latex] P_n = 2^n \cdot n![/latex].

Temos     [latex]P_{n+1} =\displaystyle\prod_{i = 1} ^{n+1}2i = 2\cdot 4\cdot 6\cdot 8 \cdots \cdot (2n)\cdot (2n+2)[/latex].

Usando a hipótese de indução:
 [latex]
\begin{align*}
P_{n+1} &=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8 \cdots \cdot (2n)\cdot (2n+2)~
& = P_{n}\cdot  (2n+2) \\~\\
&=  2^n \cdot n!\cdot (2n+2)\\~\\
&= 2^{n+1}\cdot n!\cdot (n+1) \\~\\
&= 2^{n+1}\cdot (n+1)!
\end{align*}
[/latex]

Pelo princípio de indução, temos [latex] P_n = 2^n \cdot n![/latex] para todo n natural.

____________________________________________
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