Composição de funções

Sejam as funções f(x) = x^2 + 2x + 3 e g(x) = x^2 + ax + b. Mostre que se, f(g(x)) = g(f(x)), então f = g.
Encontrei uma solução para o problema no fórum, mas eu havia interpretado dessa maneira: 
por definição, para que exista f(g(x)) o contradomínio de g deve estar contido no domínio de f e, analogamente, para que exista g(f(x)), o contradomínio de f deve estar contido no domínio de g. Portanto, sendo f : A->B, B deve estar contido no domínio de g para que exista g(f(x)) e o contradomínio de g deve estar contido em A para que exista f(g(x)),
g : B->A; 
Minha dúvida é: há como g ser inversa de f?
Gratidão!

@Potter.,

Temos que a condição necessária e suficiente para existir a inversa de uma função real dada é que ela seja bijetora. Note, porém, que uma função real do 2° jamais será injetora ou sobrejetora; mas mesmo que restringíssemos o contradomínio de modo que o conjunto imagem fosse igual ao contradomínio e também restringíssemos o domínio de modo que dois x's distintos não resultassem num mesmo y, a inversa desta função ainda deveria ter o domínio, contradomínio e mesma lei de formação para que as funções fossem iguais.

No momento, a única função que me vem à mente e que é igual a sua inversa é a função identidade.

Mas por curiosidade, irei restringir uma função para que ela seja bijetora e acherei sua inversa.

[latex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\, f(x)=x^{2}+2x+1[/latex]

Então restringindo-a, a partir do ponto de mínimo até o infinito:

[latex]f:[-1,+\infty )\rightarrow [0,+\infty ),\, f(x)=x^{2}+2x+1[/latex]

Agora nossa função é bijetora. Prosseguimos então:

[latex]f(x)=x^{2}+2x+1\therefore x=(y+1)^{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=f^{-1}=\sqrt{x}-1\\\\ f^{-1}:[0,+\infty )\rightarrow [-1,+\infty ) \end{matrix}\right.[/latex]


E veja que nem por isso f=f^-1.