(Puc-Rj) área da parte sombreada

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 20:43

Na figura anexa, O é o centro do círculo de raio r, AT é tangente e MT é perpendicular a AT. Então, a área sombreada é:

https://2img.net/r/ihimizer/img40/5791/img14f.png

resposta: r²{6*[3^(1/2)] - 4π}/24

por Werill Sáb 19 Nov 2011, 21:07

(Puc-Rj) área da parte sombreada Semttulofcz

sen 60 = (√3)/2 = TA/r
TA = (√3)r/2

cos 60 = 1/2 = x/r => x = r/2

Note o retângulo de lados r e TA:
Área = r * TA = r * (√3)r/2
Área = (√3)r²/2

Área do pedaço azul (que precisamos retirar do retângulo):
[(√3)r/2 * r/2]/2 = (√3)r²/8

Retirando a área azul da área do retângulo:
(√3)r²/2 - (√3)r²/8 = 3V3r²/8

Área do pedaço do circulo:
r²π/(360/60) = r²π/6

Então, a área hachurada é igual a área do retângulo subtraída pela área azul e do pedaço do círculo:
3(√3)r²/8 - r²π/6

[9(√3)r² - 4r²π]/24

r²[9(√3) - 4π]/24

Estranho é que deu 9√3, enquanto o gabarito está 6√3...

Alguém poderia comentar?

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 21:47

Consegui chegar a resposta seguindo seu raciocínio, porém para bater com o gabarito, considerei que AT=tg 60º=[3^(1/2)]

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 21:50

Mas visualmente...AT=sen 60°

Será que alguém sabe porque é errado usar sen 60 ao invés de tg 60?

por Werill Sáb 19 Nov 2011, 21:53

Por que AT = tg60º ?

tg60 = √3 = AT/x

x = r/2 (como já visto)

√3 = AT/(r/2)

AT = √3r/2

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Vou dormir pois amanhã farei o vestibulinho da ETEC, boa noite!
Se achar o erro, compartilhe comigo. Obrigado!

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 22:10

Já sei, não se pode usar o seno pois a hipotenusa seria maior que o raio para que se formasse um triângulo, concorda comigo?

mas de qualquer forma, lhe agradeço, Werill, pois sem seu raciocínio, eu não chegaria a resposta

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 22:17

Apesar da figura, não se pode afirmar que seno 60º é paralelo a AT

por Werill Sáb 19 Nov 2011, 22:18

Perceba que estou utilizando o triângulo de catetos x e y e hipotenusa r.

y tem a mesma medida de AT, mas não é AT.

Se utilizássemos o triângulo AOT, a hipotenusa seria sim maior que o raio, mas veja que o ângulo não seria de 60º...

Ainda não entendi Sad

por Leandro! Sáb 19 Nov 2011, 22:23

Concordo plenamente com você, seria um erro do livro?

até que provem o contrário, concordo com o que você está falando.

se AT não fosse perpendicular a AO, então não se formaria um retângulo, o que mudaria totalmente a resolução da questão