Dúvida em Polinômios

por Johnny Brazil Dom 02 Abr 2023, 15:43

Analise o polinômio [latex]x^{3} - x - 7= 0[/latex] e julgue o item abaixo em Verdadeiro ou Falso:

A única raiz real [latex]x[/latex] é tal que [latex]1 < x < 2[/latex].

O gabarito oficial é Verdadeiro.

De acordo com o Teorema de Bolzano, realmente existe pelo menos uma raiz real no intervalo [latex]1 < x < 2[/latex], mas ela é irracional.

Minha dúvida é: Como saber se essa equação admite apenas uma única raiz real?? Já que ela não admite raízes racionais para que possamos realizar o rebaixamento do grau do polinômio para grau 2.

por gilsongb Dom 02 Abr 2023, 15:55

Johnny Brazil escreveu:Analise o polinômio [latex]x^{3} - x - 7= 0[/latex] e julgue o item abaixo em Verdadeiro ou Falso:

A única raiz real [latex]x[/latex] é tal que [latex]1 < x < 2[/latex].

O gabarito oficial é Verdadeiro.

De acordo com o Teorema de Bolzano, realmente existe pelo menos uma raiz real no intervalo [latex]1 < x < 2[/latex], mas ela é irracional.

Minha dúvida é: Como saber se essa equação admite apenas uma única raiz real?? Já que ela não admite raízes racionais para que possamos realizar o rebaixamento do grau do polinômio para grau 2.

De fato, o Teorema de Bolzano garante apenas que existe pelo menos uma raiz real no intervalo [1,2], mas não garante que seja a única.
Uma maneira de verificar se a equação admite apenas uma única raiz real é observar o comportamento do gráfico da função associada ao polinômio [latex]x^3 - x - 7[/latex]. Como se trata de um polinômio de grau 3, seu gráfico pode ter no máximo 3 raízes reais. Se a equação tiver apenas uma raiz real, então o gráfico deve cruzar o eixo x apenas uma vez.

Através de métodos numéricos ou aproximando a função por um polinômio de grau 2, podemos verificar que a única raiz real está no intervalo [1,2]. Então, podemos construir um gráfico aproximado da função no intervalo e verificar que ela cruza o eixo x apenas uma vez, confirmando que a equação tem apenas uma única raiz real no intervalo [1,2].

Portanto, embora o Teorema de Bolzano garanta apenas a existência de pelo menos uma raiz real no intervalo [1,2], podemos inferir a partir de outras análises que a equação [latex]x^3 - x - 7 = 0[/latex] tem apenas uma única raiz real nesse intervalo.

por **Emanuel Dias** Dom 02 Abr 2023, 15:56

A questão tem um problema. Ou o intervalo está incorreto, ou deveria ser falso, a raiz desse polinômio é única, de fato, mas é maior que 2.

Veja a figura. Que a raiz existe é trivial, uma vez que o grau é ímpar. Para provar que é única no intervalo, basta mostrar que que a função é monótona no intervalo, eu peguei (1,3) como intervalo, para conter a raiz.

por gilsongb Dom 02 Abr 2023, 16:00

Para provar que a equação [latex]x^3 - x - 7 = 0[/latex] tem apenas uma única raiz real no intervalo [1,2], vamos usar a seguinte estratégia:
Mostrar que a função [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é contínua no intervalo [1,2].
Mostrar que [latex]f(1) < 0[/latex] e [latex]f(2) > 0[/latex], o que implica pelo teorema de Bolzano que existe pelo menos uma raiz real no intervalo.
Mostrar que [latex]f'(x) = 3x^2 - 1[/latex] é estritamente positiva em todo o intervalo, o que implica que a função é crescente no intervalo.
Concluir que, como a função é contínua, crescente e muda de sinal apenas uma vez, ela tem apenas uma única raiz real no intervalo [1,2].

Passo 1: Vamos mostrar que a função [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é contínua no intervalo [1,2]. Como polinômios são funções contínuas em todos os pontos, basta verificar que o intervalo [1,2] está contido no domínio da função. Isso é verdade, pois para qualquer valor de x no intervalo [1,2], temos que [latex]x^3 - x - 7[/latex] é um número real.
Portanto, [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é contínua no intervalo [1,2].

Passo 2: Vamos mostrar que [latex]f(1) < 0[/latex] e [latex]f(2) > 0[/latex]. Para isso, basta substituir x=1 e x=2 na equação do polinômio:
[latex]f(1) = 1^3 - 1 - 7 = -7 < 0[/latex]
[latex]f(2) = 2^3 - 2 - 7 = 1 > 0[/latex]
Portanto, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz real no intervalo [1,2].

Passo 3: Vamos mostrar que [latex]f'(x) = 3x^2 - 1[/latex] é estritamente positiva em todo o intervalo [1,2]. Isso implica que a função [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é crescente em todo o intervalo [1,2].
Para isso, basta verificar que [latex]f'(x) > 0[/latex] para todo x no intervalo [1,2]. Temos:
[latex]f'(x) = 3x^2 - 1 > 0[/latex] para todo x no intervalo [1,2].
Portanto, [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é crescente em todo o intervalo [1,2].

Passo 4: Vamos concluir que como a função é contínua, crescente e muda de sinal apenas uma vez, ela tem apenas uma única raiz real no intervalo [1,2].

Como a função [latex]f(x) = x^3 - x - 7[/latex] é contínua e crescente em todo o intervalo [1,2], e muda de sinal apenas uma vez (de negativa para positiva), então ela tem apenas uma única raiz real no intervalo [1,2].
Podemos concluir, portanto, que a afirmação "a única raiz real [latex]x[/latex] é tal que [latex]1 < x < 2[/latex]" é verdadeira.

por Johnny Brazil Dom 02 Abr 2023, 16:20

Mas como saber se o gráfico da função não intercepta o eixo x no intervalo [latex]x \in ]-\infty, 1] \cup [2, +\infty[[/latex]??

por **Emanuel Dias** Dom 02 Abr 2023, 16:29

A questão pergunta exclusivamente no intervalo. Para provar que tem solução única globalmente você pode utilizar os pontos de valores máximos e mínimos locais. Uma função do terceiro grau tem no máximo 2 pontos de máximo e mínimo, basta mostrar que a função tem o mesmo sinal nesses pontos. (Interprete geometricamente)

por **Giovana Martins** Dom 02 Abr 2023, 16:33

Uma outra forma, porém um tanto complicada. Deixo aqui apenas a título de curiosidade, pois é complicado resolver isso na "mão".

A propósito, a meu ver, creio também que haja erro no enunciado. A raiz é maior que 2.

[latex]\\\mathrm{Seja\ P(x)=x^3+px+q=x^3-x-7.\ Por\ Cardano-Tartaglia:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \Delta \to \left\{\begin{matrix} \mathrm{=0,(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R},tal\ que\ x_1=x_2}\\ \mathrm{<0,(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R},tal\ que\ x_1\neq x_2\neq x_3}\\ \mathrm{>0,x_1\in \mathbb{R}\ e\ (x_2,x_3)\in \mathbb{C}} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \Delta =\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}=\frac{(-7)^2}{4}+\frac{(-1)^3}{27}=\frac{1319}{108}>0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Portanto, P(x)\ tem\ uma\ \acute{u}nica\ raiz\ real.}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\Delta }}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\Delta }}\approx 2,08}[/latex]