Valor real de x

Um bom desafio.

Use álgebra para determinar o(s) valor(es) real(ais) de x em: x⁹ + x⁶ = 36

Um modo bem rápido de determinar uma raiz real de x (sem informar as demais raízes):

x⁹ + x⁶ = 36 ---> (x³)³ + (x³)² = 27 + 9 --> (x³)³ + (x³)² = (3)³ + (3)²

Basta comparar verde com verde ou azul com azul ---> (x³) = 3 ---> x = ∛3

Vamos agora usar álgebra para determinar todas as raízes:

(x³)³ + (x³)² = (3)³ + (3)² ---> Fazendo y = x³ ---> y³ + y² = 3³ + 3² --->

(y³ - 3³) + (y² - 2²) = 0 ---> Fatorando ---> (y - 3).(y² + 3.y + 9) - (y - 3).(y + 3) = 0

Colocando (y - 3) em evidência ---> (y - 3).[(y² + 3.y + 9) + (y + 3)] = 0 --->

(y - 3).(y² + 4.y + 12) = 0

Raiz real ---> y = 3 ---> x³ = 3 ---> x = ∛3

Outras raízes ---> y² + 4.y + 12 = 0 ---> As raízes y são complexas logo, as raízes x também são.