Provar que é irracional
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Provar que é irracional
por Fibonacci13 Sex 06 Jan 2023, 15:35
Prove que [latex]3\sqrt{2}[/latex] é irracional.
Fibonacci13- Mestre Jedi
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Re: Provar que é irracional
por catwopir Sex 06 Jan 2023, 17:17
aoba!
Vou fazer por absurdo
suponha que seja racional, logo, podemos escrever como uma fração.
[latex]3\sqrt{2}=\frac{a}{b} [/latex]
b≠0, a e b são primos entre si e inteiros.
[latex]\frac{a^2}{b^2}=18[/latex]
[latex]a^2=18b^2[/latex]
fica evidente que a² é um múltiplo de 2,3
Pelo teorema fundamental da aritmética, podemos fatorar o a em n fatores primos.
a=2.3²P2P3...
elevando ao quadrado
a²=4.81p²2p²3...
esses primos ao quadrado, resultaram em um número inteiro, resumirei como k
a²=4.81k
no começo da questão, falamos que a²=18b²
b²=18k e ai mora o absurdo, pois b² também seria múltiplo de 2 e 3, mas falei que eles eram primos entre si no começo.
parece justo?
Vou fazer por absurdo
suponha que seja racional, logo, podemos escrever como uma fração.
[latex]3\sqrt{2}=\frac{a}{b} [/latex]
b≠0, a e b são primos entre si e inteiros.
[latex]\frac{a^2}{b^2}=18[/latex]
[latex]a^2=18b^2[/latex]
fica evidente que a² é um múltiplo de 2,3
Pelo teorema fundamental da aritmética, podemos fatorar o a em n fatores primos.
a=2.3²P2P3...
elevando ao quadrado
a²=4.81p²2p²3...
esses primos ao quadrado, resultaram em um número inteiro, resumirei como k
a²=4.81k
no começo da questão, falamos que a²=18b²
b²=18k e ai mora o absurdo, pois b² também seria múltiplo de 2 e 3, mas falei que eles eram primos entre si no começo.
parece justo?
catwopir- Fera
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Re: Provar que é irracional
por Elcioschin Sex 06 Jan 2023, 19:35
Fica mais fácil provar que apenas √2 é irracional
Hipótese ---> Seja √2 racional, isto é √2 = a/b onde a, b são inteiros primos entre si
(√2)² = a²/b² --> a² = 2.b² ---> a² é par ---> a é par ---> a = 2.k --->
a² = 2.b² ---> (2.k)² = 2.b² ---> 2.k² = b² ---> b² é par ---> b é par
Acontece que se a, b são pares eles tem, pelo menos o fator 2 como divisor comum.
Isto contraria a nossa hipótese inicial que a, b eram inteiros primos entre sim.
Isto significa que nossa hipótese era absurda logo, √2 é irracional e 3.√2 também.
Hipótese ---> Seja √2 racional, isto é √2 = a/b onde a, b são inteiros primos entre si
(√2)² = a²/b² --> a² = 2.b² ---> a² é par ---> a é par ---> a = 2.k --->
a² = 2.b² ---> (2.k)² = 2.b² ---> 2.k² = b² ---> b² é par ---> b é par
Acontece que se a, b são pares eles tem, pelo menos o fator 2 como divisor comum.
Isto contraria a nossa hipótese inicial que a, b eram inteiros primos entre sim.
Isto significa que nossa hipótese era absurda logo, √2 é irracional e 3.√2 também.
Última edição por Elcioschin em Seg 09 Jan 2023, 09:39, editado 1 vez(es)
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Re: Provar que é irracional
por Medeiros Dom 08 Jan 2023, 19:14
Élcio
não entendo a seguinte passagem (sabes que sou ruim de álgebra):
na 3a linha: a² = 2.b² , portanto a² é par, logo podemos escrever que a² = 2.k .......... entendi perfeitamente
na 4a linha: (2.k)² = 2.b² ................ isto me parece com (2.k)² = (a²)² = a4
não entendo a seguinte passagem (sabes que sou ruim de álgebra):
na 3a linha: a² = 2.b² , portanto a² é par, logo podemos escrever que a² = 2.k .......... entendi perfeitamente
na 4a linha: (2.k)² = 2.b² ................ isto me parece com (2.k)² = (a²)² = a4
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Re: Provar que é irracional
por Elcioschin Seg 09 Jan 2023, 00:01
Reescrevendo melhor:
Na 1ª parte provamos que a² = 2.b², isto é, a² é par, logo, a é par, a = 2.k
Na 2ª parte ---> a² = 2.b² ---> (2.k)² = 2.b² ---> 4.k² = 2.b² ---> b² = 2.k² --->
b² é par, logo, b é par
Se a, b são pares a e b não são primos entre si
Na 1ª parte provamos que a² = 2.b², isto é, a² é par, logo, a é par, a = 2.k
Na 2ª parte ---> a² = 2.b² ---> (2.k)² = 2.b² ---> 4.k² = 2.b² ---> b² = 2.k² --->
b² é par, logo, b é par
Se a, b são pares a e b não são primos entre si
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Re: Provar que é irracional
por Medeiros Seg 09 Jan 2023, 00:52
Obrigado, Élcio.
Percebo que além de tudo também estou lento de raciocício.
Percebo que além de tudo também estou lento de raciocício.
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