Dinâmica de Rotação

Um disco homogêneo de massa M e raio R gira por um eixo perpendicular ao seu plano e que atravessa o seu centro como ilustra a figura. O eixo é tal que gira livre de torques externos. Na borda do disco encontra-se um inseto diminuto de massa m que gira junto com o mesmo a uma velocidade angular [latex]\omega_0[/latex]. O inseto então desloca-se até o centro do disco e para.


a) Qual é a velocidade angular final do disco?
b) Qual é o trabalho total realizado pelo inseto para se deslocar da posição inicial à final?

Pela conservação do momento angular \(\vec{L}\), o módulo da velocidade final do disco \( \omega\) é:
\[
\left( \frac{MR^2}{2} + mR^2 \right) \cdot \omega_0 = \frac{MR^2}{2} \cdot \omega \Leftrightarrow \omega = \left( 1 + \frac{2m}{M} \right) \cdot \omega_0
\]
O trabalho exercido pelo inseto é igual a variação da energia cinética:
\[
\begin{align}
W & = \Delta K \\
& = \frac{1}{2} \cdot \frac{MR^2}{2}\cdot \omega^2 - \frac{\omega_0^2}{2} \cdot \left( \frac{MR^2}{2} + mR^2 \right) \\
& = \frac{MR^2}{4}\cdot \left( \omega^2 - \omega_0^2 \right) - \frac{mR^2\omega_0^2}{2} \\
& = \frac{MR^2}{4} \cdot \omega_0^2\left(  1  + \frac{2m}{M} - 1\right) \left(  1 + \frac{2m}{M} + 1 \right) - \frac{mR^2\omega_0^2}{2} \\
& = \frac{MR^2}{4} \cdot \omega_0^2 \cdot \frac{2m}{M} \cdot 2 \cdot \left( 1 + \frac{m}{M} \right) - \frac{mR^2\omega_0^2}{2} \\
& = mR^2\omega_0^2 \cdot \left( 1 + \frac{m}{M} \right) - \frac{mR^2\omega_0^2}{2} \\
& = mR^2\omega_0^2 \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{m}{M} \right) \\
& = \frac{mR^2\omega_0^2}{2} \cdot \left( 1 + \frac{2m}{M} \right)
\end{align}
\]