Geometria espacial

por mhope Ter 15 Nov 2022, 17:07

A diagonal de um paralelepípedo retângulo, cuja base é um quadrado, mede 6 cm e faz com o plano da base do paralelepípedo um ângulo de 45°. A medida, em cm² do volume do paralelepípedo é

Gab.: 27√2

Ajuda, por favor!

por **petras** Ter 15 Nov 2022, 17:21

mhope escreveu:A diagonal de um paralelepípedo retângulo, cuja base é um quadrado, mede 6 cm e faz com o plano da base do paralelepípedo um ângulo de 45°. A medida, em cm² do volume do paralelepípedo é

Gab.: 27√2

Ajuda, por favor!

Altura paralelepípedo
A diagonal forma um triângulo retângulo isósceles com a base
[latex]sen 45^o =\frac{h}{6} \implies h=3\sqrt 2[/latex]
Diagonal do quadrado
[latex]l\sqrt2 = 3\sqrt2 \implies l = 3\\ \therefore V = 3^2.3\sqrt2 = 27\sqrt2[/latex]

por mhope Ter 15 Nov 2022, 17:39

@petras
Por que assim dá errado? Não tem 90° ali?

por Victor Giovanni Ter 15 Nov 2022, 17:47

mhope escreveu:@petras
Por que assim dá errado? Não tem 90° ali?

Creio que é porque GFA não é reto. AGE que é, fazendo os cálculos vc acharia a diagonal da base e com isso a sua área, depois aplicava o sen45 em um dos triângulos para achar a altura.

por mhope Ter 15 Nov 2022, 18:06

Isso ocorre por que não é uma paralelepípedo retorretângulo?
Porque nessa questão abaixo ele tem essa denominação e os segmentos são perpendiculares:
https://pir2.forumeiros.com/t119002-unesp-sp#414207

por **Elcioschin** Ter 15 Nov 2022, 18:45

O erro foi no cálculo de a²

Notem que a diagonal da base vale x

a² + a² = x² ---> 2.a² = (3.√2)² ---> a² = 9

V = a².x ---> V = 3².(3.√2) ---> V = 27.√2

por **petras** Ter 15 Nov 2022, 19:54

mhope escreveu:@petras
Por que assim dá errado? Não tem 90° ali?

Seu erro está na posição do ângulo de 15^o. Da forma com vocÊ imaginou seria assim

por **Medeiros** Qua 16 Nov 2022, 03:28

mhope escreveu:@petras
Por que assim dá errado? Não tem 90° ali?

Sim, mhope, ali tem 90º mas NÃO é este o triângulo referido pelo enunciado. Usando o desenho do Petras para explicar:

A base é o quadrado ABCD e a diagonal do paralelogramo é AG. Quando o enunciado diz que a diagonal faz 45º com a base, este ângulo deve ser medido na perpendicular à base, ou seja, este ângulo está entre a diagonal AG e sua projeção AC sobre a base. E isto nos remete ao triângulo ACG, retângulo em C (por construção = característica do paralelogramo reto) e isósceles (por ter dois ângulos iguais, 45º).