área máxima de um retângulo

por sandstorm0805 Qua 09 Nov 2022, 16:30

A área A, em m2 , de um canteiro retangular, em função da medida x, em m, de um dos lados é dada pela expressão a seguir: A(x) = 8x − x² , com 0 < x < 8

a) Calcule a medida do perímetro desse canteiro.

b) Qual a medida máxima de área que esse canteiro pode ter?

por **qedpetrich** Qua 09 Nov 2022, 17:10

Olá sandstorm;

A expressão fornecida representa a área do retângulo, logo, a partir dela podemos inferir a medida de seus lados. Você deve lembrar que a área desse polígono é dado pelo comprimento × largura. Fatorando a expressão:

x(8-x) = A

A partir disso, podemos entender que um dos lados, o comprimento, por exemplo, equivale ao "x", e o outro, a sua largura, a "8-x". O perímetro é dado pela soma de todos os lados:

x + (8-x) + x + (8-x) = 16 metros

Para a assertiva b, calcule o x do vértice: -b/2a

Possui o gabarito?

por **Medeiros** Qui 10 Nov 2022, 04:12

só complementando,

área máxima = -∆/4a = -64/-4 = 16 m²

ou, então, faz como o colega Qedpetrich indicou: acha o x do vértice e joga na função A(x).

por EstudanteA Qui 14 Set 2023, 20:13

Gabarito: a) 16m. b)16m^2.

por **Giovana Martins** Qui 14 Set 2023, 20:27

Outro jeito: por derivadas. De forma bem direta:

A(x) = 8x - x² ∴ A'(x) = 8 - 2x

Portanto, A'(x) = 0, o que implica x = 4 como ponto crítico.

Neste caso, x = 4 é o valor de x que maximiza a área A(x), de tal modo que A(x = 4) = Amáx = 8.4 - (4)² = 16 m². Portanto, a outra dimensão é dada por L x 4 = 16, logo, L = 4, o que indica que o retângulo de maior área é exatamente um quadrado. Portanto, o perímetro solicitado é dado por p = 4L = 4.4 = 16 m.

Com certeza esta questão não foi pensada para resolver utilizando derivadas, porém, em se tratando de questões mais complicadas, as derivadas podem ser bem úteis.