Dúvida teórica sobre continuidade

Boa noite, pessoal!

Alguém pode me dar dicas de como resolver exercícios de continuidade logo de cara? Daqui de 1 a 2 tópicos mostrarei exemplos. Mas gostaria de saber como eu posso sacar um exercício de continuidade logo de primeira, independentemente dos sinais e de números de funções que apareçam.

O importante é reconhecer as descontinuidades.

Por exemplo a função y = 4/(x - 2) ---> A função é descontínua para x = 2, pois não existe divisão por zero.
Trace o gráfico da função e você verá que ela tem duas curvas com ambas tendendo a ± ∞ para x = 2

Outro exemplo: a função y = tgx é descontínua, na 1ª volta, para x = pi/2 e x = 3.pi/2

Boa noite, mestre!

Meu problema não é com assíntota vertical ou horizontal, é justamente esse tipo de exercício que eu não sei fazer logo de cara:


Essa categoria de exercício eu não tenho ideia de como fazer. Eu teria que igualar a primeira função com a segunda e a segunda com a terceira?

Sugiro desenhar, sum sistema xOy os gráficos de cada função, nos intervalos citados:

f(x) = 1 + x² ---> se x ≤ 0 ---> Ramo de parábola com a concavidade voltada para cima: bolinha preta no ponto (0, 1)

f(x) = b + x ---> 0 < x ≤ a ---> Sugiro escolher valores a = 3 e b = 2 para facilitar ---> reta com bolinha branca em (0, b) e preta em (3, 5)

f(x) = √(x - a) ---> x > a ---> Escolha alguns valores para x e desenhe o gráfico

Você verá que existem descontinuidades em x = 0 e x = 3

Para não haver descontinuidades são necessárias duas coisas

1) Os gráficos devem coincidir em x = 0 e x = 3 (iguale as duas funções)
3) Quando se junta uma reta com uma curva elas não podem formar um "bico", isto é, a reta deve ser tangente à curva (iguale as derivadas)

Somente assim estas funções são deriváveis nestes pontos de junção.

Por exemplo a reta deve ser horizontal para ser tangente ao ramo de parábola em (0, 1), isto é, y =1