rotação de eixos

reduza, por rotação de eixos,a equação da cônica abaixo a sua forma padrão e diga que tipo de cônica representa

25xy+25=0

25xy + 25 = 0

Seja:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (I)

A equação geral das cônicas.

Seja

Δ = B² - 4AC

Seu discriminante.

Δ = (25)² - 4(0)(0) = (25)² > 0

Se Δ> 0 a cônica é uma hipérbole.

Forma Padrão (Canônica ?) da Hipérbole:

y²/a² - x²/b² = 1

A = C = 0, então a rotação é de 45°

x = x'cos(45°) - y'sen(45°) = √2/2 (x'-y')

y = x'sen(45°) + y'cos(45°) = √2/2 (x'+y')

Substituindo em (I)

25 (√2/2 (x'+y'))√2/2 (x'-y') + 25 = 0

2/4(x'² - y'²) = -1

x'² - y'² = -2

y'² - x'² = 2

y'²/2 - x'²/2 = 1

Rihan na hora que substitui fica y'² /25-x'²/25=1

é daquele material te mandei AP2 2010-2(avaliação presencial)
temos que estudar p/ elas

Não descobri meu erro não ...

Maria,

Minha resolução está correta.

Não há erro algum na substituição.

Veja o gráfico:




Para quem gosta de decorar fórmulas, vai mais uma:

Seja uma hipérbole dada na forma:

Bxy + B = 0, onde B ≠ 0 e  B ∈ ℝ

xy + 1 = 0

Uma rotação de θ, 0 < θ < Π/2, eixo de rotação na origem de XY, dará:

x = x'cos(θ) - y'sen(θ)

y = x'sen(θ) + y'cos(θ)

Sendo as Formas Canônicas da Hipérbole, onde a ≠ 0 e  a ∈ ℝ:

y²/a² - x²/b² = 1

ou

x²/a² - y²/b² = 1

Ao substituirmos x e y e escolhermos a transformada, por exemplo, na 1ª forma, teremos :

xy + 1 = 0

b²y'² - a²x'² - a² b² = 0

( x'cos(θ) - y'sen(θ) ) ( x'sen(θ) + y'cos(θ) ) + 1 = 0


x'²sen(θ)cos(θ) - y'²sen(θ)cos(θ) + x'y'cos²(θ) -x'y'sen²(θ)+ 1 = 0

y'²sen(θ)cos(θ) - x'²sen(θ)cos(θ) - x'y'( cos²(θ) -sen²(θ) ) - 1 = 0

y'²sen(θ)cos(θ) - x'²sen(θ)cos(θ) - x'y'( cos(2θ) ) - 1 = 0

y'² - x'² - x'y'( cos2(θ) )/((sen(θ)cos(θ)) -1/((sen(θ)cos(θ)) = 0

Para o termo em x'y' desaparecer precisamos:

cos(2θ)/( (sen(θ)cos(θ) ) = 0

cos(2θ) = 0

2θ = ±Π/2

Como  0 < θ < Π/2

θ = Π/4

Substituindo θ = Π/4

x = x'√2/2 – y'√2/2 = √2/2(x'–y')

y = x'√2/2 + y'√2/2 = √2/2(x'+y')

E finalmente, em xy + 1 = 0, teremos:

√2/2(x'–y')√2/2(x'+y') + 1 =0

2(x'² - y'²)/4 + 1 = 0

x'²/2 - y'²/2 = -1

y'²/2 - x'²/2 = 1

Logo, para qualquer hipérbole

Bxy + B = 0

Teremos a transformada por rotação de 45°:

y'²/2 - x'²/2 = 1

E Vamos Lá !





 








 

Rihan isto é corrigido de prova e um professor provou até wolfram alpha resultado igual o seu e um garoto fez não sei se acertou dando esse da prova

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Não compreendi coisa alguma do que você disse ...

Só sei que a minha solução está conferida, reconferida e correta.

E Vamos Lá !!!

Vi seu email e o link http://forum.brasilescola.com/index.php?/topic/6473-geometria-analitica/

Repare que voccê errou ao copiar a questão...

Lá é 2xy + 25 = 0

Você postou 25xy + 25 = 0

Foi esse o seu 1º erro.

O 2º foi não ter acompanhado passo a passo a minha solução e re-solução.

E Vamos Lá !!!

obrigada amigo, e desculpas lhe peço

Amiga Gracinha,

As desculpas são desnecessárias !

Acabou tudo bem e, de quebra, fiz uma boa e atenta revisão de cônicas e quádricas, o que foi ótimo, pois de muita coisa não me lembrava mais.

O que importa é continuarmos...

E Vamos Lá !