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por LARA01 Qui 03 Fev 2022, 09:30
Calcular o valor de [6cos20° + 1]/cos³20°.
a)2
b)4
c)6
d)8
e)10
resp:8
a)2
b)4
c)6
d)8
e)10
resp:8
LARA01- Padawan
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Re: Identidades
por aitchrpi Qui 03 Fev 2022, 09:51
A identidade que você precisa usar nesse caso é
[latex]cos^3\,(\theta) = \frac{1}{4}\,(3\,cos\,(\theta) + cos\,(3\theta))[/latex]
Logo,
[latex]cos^3\,(20) = \frac{1}{4}\,(3\,cos\,(20) + cos\,(60)) = \frac{1}{8}\,(6\,cos(20) + 1)[/latex]
Assim,
[latex]x = \frac{6\,cos(20) + 1}{\frac{1}{8}\,(6\,cos(20) + 1)} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8[/latex]
Prova da identidade:
cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a) cos(a) - sin(2a) sin(a). Mas cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 e sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
Portanto, cos(3a) = 2cos³(a) - cos(a) - 2 sin²(a) cos(a) = 2cos³(a) - cos(a) - 2 cos(a) + 2cos³(a).
Finalmente, cos(3a) = 4 cos³(a) - 3 cos(a) ----> cos³(a) = 1/4 [ 3cos(a) + cos(3a) ]
[latex]cos^3\,(\theta) = \frac{1}{4}\,(3\,cos\,(\theta) + cos\,(3\theta))[/latex]
Logo,
[latex]cos^3\,(20) = \frac{1}{4}\,(3\,cos\,(20) + cos\,(60)) = \frac{1}{8}\,(6\,cos(20) + 1)[/latex]
Assim,
[latex]x = \frac{6\,cos(20) + 1}{\frac{1}{8}\,(6\,cos(20) + 1)} = \frac{1}{\frac{1}{8}} = 8[/latex]
Prova da identidade:
cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a) cos(a) - sin(2a) sin(a). Mas cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 e sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
Portanto, cos(3a) = 2cos³(a) - cos(a) - 2 sin²(a) cos(a) = 2cos³(a) - cos(a) - 2 cos(a) + 2cos³(a).
Finalmente, cos(3a) = 4 cos³(a) - 3 cos(a) ----> cos³(a) = 1/4 [ 3cos(a) + cos(3a) ]
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