Divisibilidade
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Divisibilidade
por botelhowski Seg 31 Jan 2022, 09:49
O maior inteiro k tal que [size=33][latex]135^k[/latex][/size] divide 2020! é
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botelhowski- Padawan
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Re: Divisibilidade
por aitchrpi Seg 31 Jan 2022, 10:19
135 = 3³ * 5. Existem 2019/3 + 2016/9 + 1998/27 + 1944/81 + 1944/243 + 1458 = 1005 fatores 3 em 2020!, e pelo menos 2020/5 = 404 fatores 5.
Então é possível dividir 2020! por (3³ * 5)^(1005/3) = (3³ * 5)^335
Então é possível dividir 2020! por (3³ * 5)^(1005/3) = (3³ * 5)^335
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
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De onde tirou tais fatos?
por MrDemolid Qua 02 Fev 2022, 17:03
aitchrpi escreveu:135 = 3³ * 5. Existem 2019/3 + 2016/9 + 1998/27 + 1944/81 + 1944/243 + 1458 = 1005 fatores 3 em 2020!, e pelo menos 2020/5 = 404 fatores 5.
Então é possível dividir 2020! por (3³ * 5)^(1005/3) = (3³ * 5)^335
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Re: Divisibilidade
por aitchrpi Qua 02 Fev 2022, 17:28
É que a parte inteira de a/n indica quantos múltiplos de n existem de 1 até a.
Ex: Qual é o maior k tal que 3^k divide 100!?
[100/3] = 33, então existem 33 múltiplos de 3 entre 1 e 100. Mas nos só contamos 1 fator dos múltiplos de 9, então ainda restam [100/9] = 11 fatores 3. O mesmo acontece para os múltiplos de 27 e 81.
Então, o total de fatores 3 em 100! é igual a [100/3] + [100/9] + [100/27] + [100/81] = 48.
[n] = floor(n) = parte inteira de n
Ex: Qual é o maior k tal que 3^k divide 100!?
[100/3] = 33, então existem 33 múltiplos de 3 entre 1 e 100. Mas nos só contamos 1 fator dos múltiplos de 9, então ainda restam [100/9] = 11 fatores 3. O mesmo acontece para os múltiplos de 27 e 81.
Então, o total de fatores 3 em 100! é igual a [100/3] + [100/9] + [100/27] + [100/81] = 48.
[n] = floor(n) = parte inteira de n
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
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