Cálculo Numérico - Método de Newton

Mostre que x³+2x+17=0 tem apenas uma raiz real e determine seu valor correto até duas casas decimais usando o método de newton.

-não possuo o gabarito.

I) Temos:

f(x) = x^3 + 2x + 17

*Derivando temos: 

f'(x) = 3x^2 + 2

*Portanto a função tem no máximo 1 raíz real.

II)Veja que:

f(-2) = (-2)^3 + 2*(-2) + 17 = -8 - 4 + 17 = 5
f(-3) = (-3)^3 + 2*(-3) + 17 = -27 - 6 + 17 = -16

f(-2)*f(-3) < 0

Logo, existe uma raíz real entre -2 e -3.

III) Portanto, existe apenas uma raiz real para x^3 + 2x + 17, na qual se encontra entre -2 e -3.

IV) Daí, usando o meto Newton-Raphson:

x₀ = -2

x₁ = x₀ - (f(x₀)/f'(x₀)) = -2 - (((-2)^3 + 2*(-2) + 17)/(3(-2)^2 + 2)) = -2 - (5/14) = -33/14 ≈ -2,36
x₂ = x₁ - (f(x₁)/f'(x₁)) = -2,36 - (((-2,36)^3 + 2*(-2,36) + 17)/(3*(-2,36)^2 + 2)) ≈ -2,31
x₃ = x₂ - (f(x₂)/f'(x₂)) = -2,31 - (((-2,31)^3 + 2*(-2,31) + 17)/(3*(-2,31)^2 + 2)) ≈ -2,31

Logo,

x ≈ -2,31