(Poliedro) - Equação Logarítmica.

por Floral Fury Qua 03 Nov 2021, 14:39

Resolva, no campo dos reais, a seguinte equação:
(log_cos.x^sen²x ).(log_cos²x^sen.x) = 4

Resp.: x = 2.k.π + arcsen[(√5 - 1)/2]

Boa tarde colegas!
Tentei fazer, fatorando tal expressão, e cheguei ao seguinte resultado: cos²x = sen.x
Porém, não têm nenhuma relação entre oq eu achei e o gabarito....

Obrigado! Very Happy

Obs.: Caso ficou confuso, ali seria o log de sen²x na base cos.x, e isso sendo multiplicado pelo log de sen.x na base cos²x. Razz

por Floral Fury Qua 03 Nov 2021, 17:55

Amigos.
Consegui chegar, em parte, ao gabarito! Porém, continuo com dúvida, agr, a cerca de como chegar ali.
Segue a resolução!

cos²x = sen.x
1 - sen²x = sen.x
sen²x + sen.x - 1 = 0 ------> y² + y - 1 = 0
                                                         y = [-1 ± √5]/2
                                                         sen.x = y = [-1 ± √5]/2
                                                         x = arc.sen.{[-1 ± √5]/2}

Agora não sei onde me equivoquei para não chegar no gabarito.
Obrigado! Very Happy

por **SilverBladeII** Qua 03 Nov 2021, 19:07

perceba que (-1-√5)<-1, portanto n existe arcsen real desse numero,
ent x_0=arcsen((√5-1)/2)
segundo que (sen x, cos x) = (sen y, cos y)
se e só se x=y+2kπ, portanto a solução geral da eq é
x=arcsen((√5-1)/2)+2kπ