UNICAMP - Trigonometria

por jopagliarin Seg 25 Out 2021, 18:13

A figura abaixo exibe o triângulo retângulo ABC, em que AB = AM = MC.
UNICAMP - Trigonometria 0_9be8f19299a811826e84fb8a89d581b9_1440637.jpg

Então, tg θ é igual a

a) 1/2.

b) 1/3.

c) 1/4.

d)1/5.

gabarito:

Oi, gente. Alguém pode me ajudar a resolver a questão por meio da teoria dos ângulos externos?

por **Elcioschin** Seg 25 Out 2021, 18:32

Seja x = AB = AM = MC

tg(A^BM) = AM/AB = x/x = 1 ---> A^BM = 45º

tg(ABC) = AC/AB = 2.x/x ---> tg(θ + 45º) = 2 ---> Calcule θ

por jopagliarin Seg 25 Out 2021, 18:34

Sim, Mestre, eu fiz dessa maneira. No entanto eu vi um comentário na internet falando que dava para resolver pela teoria dos ângulos externos. É possível?

por **Elcioschin** Seg 25 Out 2021, 18:47

Uma outra opção que vejo é a seguinte:

Seja O o ponto médio da hipotenusa BC

BC² = AB² + AC² --> BC² = x² + (2.x)² --> BC = 2.√5 --> OA = OB = OC = √5

ABC é inscritível numa semi-circunferência de centro O e raio r = √5

Trace a circunferência a faça as contas: B^MC = 135º -->

por **Elcioschin** Seg 25 Out 2021, 20:14

Outra solução usando Lei dos cossenos

BM² = AB² + AM² ---> BM² = x² + x² ---> BM = x.√2

BC = 2.√5 (conforme já demonstrado)

CM² = BM² + BC² - 2.BM.BC.cosθ

x² = (x.√2)² + (x.√5)² - 2.(x.√2).(x.√5).cosθ

1 = 2 + 5 - 2.√10.cosθ ---> cosθ = 3/√10 --> senθ = 1/√10

tgθ = 1/3