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Algebra

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Mensagem por PAPABLO Sex 10 Set 2021, 11:00

Dado a⁴ + a³ + a² + a +1 = 0, o valor de a²⁰⁰⁰ + a²⁰¹⁰ é

a) 0
b) 1
c) -1
d) 3
e) 5

PAPABLO
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Mensagem por tales amaral Sex 10 Set 2021, 12:17

Alguém pode apontar o erro? Não cheguei em nenhuma alternativa...


[latex]a^4 + a^3 + a^2 + a +1 = 0 [/latex], multiplicando por a obtemos [latex]a^5 + a^4 + a^3 + a^2 +a = 0 [/latex], somando 1 em ambos os lados: [latex]a^5 +( a^4 + a^3 + a^2 +a +1)= 1 \implies a^5 = 1[/latex]. Substituindo: [latex]a^{2000}+a^{2010} = \left(a^{5} \right )^{400}+\left(a^{5} \right )^{402} = 2[/latex].
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Mensagem por qedpetrich Sex 10 Set 2021, 12:41

Olá tales;

Não tentei resolver essa questão aqui, mas note que a não pode ser 1, pois a equação original é a⁴ + a³ + a² + a + 1 = 0, ou seja, se a⁵ = 1, logo, a = 1. Sustituindo na equação ficamos com -> 1⁴ + 1³ + 1² + 1 + 1 = 0 -> 5 = 0, o que é um absurdo. Creio que se resolva por complexos. Ou o gabarito está com divergências mesmo.
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Mensagem por tales amaral Sex 10 Set 2021, 14:31

@qedpetrich escreveu:Olá tales;

Não tentei resolver essa questão aqui, mas note que a não pode ser 1, pois a equação original é a⁴ + a³ + a² + a + 1 = 0, ou seja, se a⁵ = 1, logo, a = 1. Sustituindo na equação ficamos com -> 1⁴ + 1³ + 1² + 1 + 1 = 0 -> 5 = 0, o que é um absurdo. Creio que se resolva por complexos. Ou o gabarito está com divergências mesmo.
Creio que em algum passo meu é adicionada a raiz a=1, que obviamente não é uma raiz da equação original. Se a gente usar a expansão [latex] a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}\cdot b +a^{n-3}\cdot b^2+\cdots +a\cdot b^{n-2}+b^{n-1})[/latex] na expressão [latex]a^5-1[/latex] obtemos [latex]a^5-1 = (a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1) = 0[/latex]. 
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