Trigonometria
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Trigonometria
Página 1 de 1
Trigonometria
por eduardodudu101 5/9/2021, 2:00 pm
Sabendo que o valor da expressão [latex]S = cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right ) + cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) + cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) + cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) + cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right )[/latex] pode ser escrito na forma [latex]\frac{p}{q}[/latex] onde p e q são números inteiros positivos e primos entre si. Então o valor de p + q é igual a:
a)[latex]15[/latex]
b)[latex]18[/latex]
c)[latex]21[/latex]
d)[latex]24[/latex]
e)[latex]30[/latex]
a)[latex]15[/latex]
b)[latex]18[/latex]
c)[latex]21[/latex]
d)[latex]24[/latex]
e)[latex]30[/latex]
- Gabarito:
- c
Última edição por eduardodudu101 em 7/9/2021, 11:33 pm, editado 1 vez(es)
eduardodudu101- Jedi
- Mensagens : 221
Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 22
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
Re: Trigonometria
por eduardodudu101 5/9/2021, 3:20 pm
Já consegui ver uma resolução:
Dados [latex]\frac{\pi}{10} [/latex] e [latex]\frac{9\pi}{10} [/latex] suplementares,bem como [latex]\frac{3\pi}{10} [/latex] e [latex]\frac{7\pi}{10} [/latex],tem-se:
[latex]cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) = - cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )[/latex] e [latex]cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right ) = - cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )[/latex]
Logo:
[latex]S = {\color{Red} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right ) } + {\color{Blue} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) } + cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) - {\color{Blue} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right )} - {\color{Red} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )}[/latex]
Os termos em vermelho se cancelam,bem como os termos em azul.
[latex]S = cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right )[/latex]
[latex]S = cos^^{2}\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos^^{2}\left ( \frac{3\pi}{10} \right )[/latex]
[latex]S = \left [ cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right ) \right ]^^{2}[/latex]
Convertendo o produto em soma(Prostaférese):
[latex]S = \frac{\left ( cos\left ( \frac{2\pi}{5} \right ) + cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( 2cos^^{2}\left ( \frac{\pi}{5} \right ) - 1 + cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \right )^^{2}}{4}[/latex]
Como [latex]cos \left ( \frac{\pi}{5} \right ) = \frac{1 + \sqrt5}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( \frac{2(1+\sqrt5)^^{2}}{16} - 1 + \frac{1 + \sqrt5}{4} \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( \frac{\sqrt5}{2} \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{5}{16}[/latex]
Logo, p+q = 5 + 16 = 21
Alguém sabe alguma forma alternativa de encontrar os valores exatos de sen18º,sen36º ou sen72º? Quando chego a esses arcos,sempre recorro ao decágono regular inscrito em uma circunferência.
Dados [latex]\frac{\pi}{10} [/latex] e [latex]\frac{9\pi}{10} [/latex] suplementares,bem como [latex]\frac{3\pi}{10} [/latex] e [latex]\frac{7\pi}{10} [/latex],tem-se:
[latex]cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) = - cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )[/latex] e [latex]cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right ) = - cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )[/latex]
Logo:
[latex]S = {\color{Red} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right ) } + {\color{Blue} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) } + cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right ) - {\color{Blue} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right )} - {\color{Red} cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{5\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )}[/latex]
Os termos em vermelho se cancelam,bem como os termos em azul.
[latex]S = cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{7\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{9\pi}{10} \right )[/latex]
[latex]S = cos^^{2}\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos^^{2}\left ( \frac{3\pi}{10} \right )[/latex]
[latex]S = \left [ cos\left ( \frac{\pi}{10} \right )cos\left ( \frac{3\pi}{10} \right ) \right ]^^{2}[/latex]
Convertendo o produto em soma(Prostaférese):
[latex]S = \frac{\left ( cos\left ( \frac{2\pi}{5} \right ) + cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( 2cos^^{2}\left ( \frac{\pi}{5} \right ) - 1 + cos\left ( \frac{\pi}{5} \right ) \right )^^{2}}{4}[/latex]
Como [latex]cos \left ( \frac{\pi}{5} \right ) = \frac{1 + \sqrt5}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( \frac{2(1+\sqrt5)^^{2}}{16} - 1 + \frac{1 + \sqrt5}{4} \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{\left ( \frac{\sqrt5}{2} \right )^^{2}}{4}[/latex]
[latex]S = \frac{5}{16}[/latex]
Logo, p+q = 5 + 16 = 21
Alguém sabe alguma forma alternativa de encontrar os valores exatos de sen18º,sen36º ou sen72º? Quando chego a esses arcos,sempre recorro ao decágono regular inscrito em uma circunferência.
eduardodudu101- Jedi
- Mensagens : 221
Data de inscrição : 15/07/2017
Idade : 22
Localização : Porto Velho,Rondônia,Brasil
gabriel de castro gosta desta mensagem
Re: Trigonometria
por Elcioschin 5/9/2021, 5:36 pm
sen18º = cos72º = (√5 - 1)/4
sen54º = cos36º = (√5 + 1)/4
sen15º = cos75º = (√6 - √2)/4
sen75º = cos15º = (√6 + √2)/4
sen54º = cos36º = (√5 + 1)/4
sen15º = cos75º = (√6 - √2)/4
sen75º = cos15º = (√6 + √2)/4
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73190
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 78
Localização : Santos/SP
eduardodudu101 gosta desta mensagem
Tópicos semelhantes» [Resolvido] TRIGONOMETRIA Parte I: Ajuda para resolver questões de trigonometria
» TRIGONOMETRIA: Ajuda para resolver questões de trigonometria
» TRIGONOMETRIA: Ajuda para resolver questões de trigonometria
» Trigonometria
» Trigonometria V
» TRIGONOMETRIA: Ajuda para resolver questões de trigonometria
» TRIGONOMETRIA: Ajuda para resolver questões de trigonometria
» Trigonometria
» Trigonometria V
PiR2 :: Matemática :: Trigonometria
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
