área de setor circular - resolver sem derivada ?

por JohnnyC Qui 02 Set 2021, 13:21

UFIt - MG

Dentre os setores circulares de perímetro dado 1, determine o que tem maior área.

R: Setor de raio 1/4 e ângulo central 2 rad.

pessoal, utilizando o arco em radianos, eu cheguei em R = 1/(2 + α), sendo α o ângulo central do setor em radianos.
Realmente, se eu considerar α = 2 rad, o raio R = 1/4 como consta no gabarito.
Mas como eu sei que pra área ser máxima o α tem que ser 2 rad ?
Pedi ajuda a um amigo meu e ele disse que só tem como utilizar derivadas pra achar esse valor de α. Tem como resolver, didaticamente, só usando conceitos de ensino médio ? obrigado

por **SilverBladeII** Qui 02 Set 2021, 15:17

α=(1-2r)/r, e a área do setor é A=αr²/2=(r-2r²)/2, que tem um ponto de máximo, que ocorre quando r=-b/(2a)=(-1/2)/(-2*1)=1/4, e então α=(1-2*1/4)/(1/4)=2