prisma regular

(ITA-Sp) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma , em cm³ é:

R:

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passei um século procurando uma figura ¬¬'
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/prisma/prisma.htm

um prisma tem 6 retângulos como áreas laterais e um hexágono ( na verdade dois , mas não vem ao caso)


ele disse que

6*3*L=6*2*L²V3/4

18=12LV3/4

3=2LV3/4

LV3=6
L=6/V3
L=6V3/3
L=2V3


logo a área da base vai ser

6*L²V3/4

6*L(2V3)*V3/4

fazendo essa conta

área = 18V3

volume dsse prisma

18V3 * 3 = 54V3

Um prisma tem como lado um retângulo (exceto as bases, é claro).
Se a altura de um prisma é de 3 cm, então a área lateral seria de 6 * 3 * x, sendo esse x tanto o outro lado do retângulo como o lado do hexágono e esse seis é porque são seis retângulos. Agora, como calculamos a área de um hexágono regular?
É fácil. A fórmula é:
3x²√3/2, sendo x o lado do hexágono. Agora é só igualar uma coisa a outra, lembrando que a área lateral é o dobro da área da base.

18x = 3x²√3
3x√3 = 18
x = 18 / 3√3 = 54√3 / 21 = 6√3 / 3 = 2√3

2√3 é o lado do prisma. Vamos agora descobrir o seu volume usando a fórmula.

V = Altura * Área da Base

Para facilitar essa conta, sabemos que a área lateral é o dobro da área da base. Então vamos calcular a área lateral e dividir esse valor por dois.

Área lateral = 6 * 3 * 2√3 = 36√3 / 2 = 18√3

Colocando na fórmula...

V = 3 * 18√3 = 54√3 cm³


Espero ter ajudado. ^_^