Números reais envolvendo racionais

Provar que em qualquer intervalo [a, b] de números reais existe pelo menos
um número racional. Deduza que existe até mesmo uma quantidade infinita
de números racionais em [a, b].

Existe n natural tal que a < a+1/n < b. 
Suponha que não. Então a+1/n≥b, para todo natural n. então , desde que b-a > 0, n≤1/(b-a) para todo natural, o que contraria a propriedade arquimediana (absurdo). 

Veja que se a é racional, isso já prova o problema. Suponha então a seja irracional.

Temos que na < na+1 < nb

Sabemos que existe inteiro tal que p < na < p+1 (pode provar utilizando a propriedade arquimediana. fica como exercicio, se não conseguir comenta aí)
mas então p+1 < an+1 (se não, p+1 ≥ an+1, de forma que p ≥ an. Absurdo).

Então an < p+1 < an+1 < b, de forma que a < (p+1)/n < b, e temos o que queriamos

segunda parte fica como exercicio