Combinação linear.

por LuisHSR Sáb 07 Ago 2021, 15:55

Assinale a alternativa que contém o vetor que é combinação linear dos vetores x1 = (4, 2, -3), x2 = (2, 1, -2) e x3 = (-2, -1, 0).

a) (7, 1, 0)
b) (-1, 2, 3)
c) (4, 2, -6)
d) (1, 1, 1)
e) (1, -2, -3)

Peguei a questão de uma lista antiga, não tenho o gabarito.

por **Emanuel Dias** Sáb 07 Ago 2021, 22:26

Olá amigo, vou te dar a intuição para resolver essa questão.

Primeira coisa, o que é combinação linear?

Definição: Um vetor u é combinação linear dos vetores {v,w,...z} se for possível escrever u como u=αv+βw+...+δz.

Seja u o vetor da alternativa, se ele é combinação linear dos vetores citado então:

[latex]\vec{u}=\alpha \vec{x_1}+\beta \vec{x_3}+\gamma\vec{x_3}[/latex]

Substituindo os valores obtemos:

[latex]\vec{u}=\alpha (4,2,-3)+\beta (2,1,-2)+\gamma(-2,-1,0)[/latex]

Substituindo u (cada uma das alternativas) quando o sistema for possível, existe coeficientes alpha betha e gamma, portanto é combinação linear, então, falta descobrir qual u faz o sistema ser SPD.

Outra forma, mais rápida:

3 vetores são LI se não são coplanares, isso significa que os 3 vetores determinam um paralelepípedo, então, se fizermos o determinante das coordenadas, se o determinante der zero, o paralelepípedo está degenerado em uma figura bidimensional e não tem volume, nesse caso é LD, se for LD, é combinação linear, então basta encontrar a alternativa cujo determinante dos vetores é nula cheers

O video abaixo explica o motivo desse último processo funcionar.

Combinação linear.

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Re: Combinação linear.

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