Áreas de regiões sombreadas

Oi gente, queria saber como faz essa questao de modo SIMPLESS
 gab a
Na figura a seguir, o ponto P não é fixo e pode ocupar uma posição qualquer desde que PA e PB sejam sempre cordas do círculo de diâmetro AB . Note ainda, na figura, os semicírculos de diâmetros PA e PB.
Adote a seguinte notação: XY = medida ou comprimento de XY.
 
A soma das áreas das duas regiões sombreadas nessa figura será máxima quando:
 a)

 b)

 c)

 d)

 e)

Uma figura para ajudar:

Gemma

dê uma pesquisada por "Lúnulas de Hipócrates" -- ou Luas de Hipócrates (de Chiós)

depois de chegar na resposta precisamos manipulá-la para se adequar alguma alternativa.

Medeiros escreveu:Gemma

dê uma pesquisada por "Lúnulas de Hipócrates" -- ou Luas de Hipócrates (de Chiós)

depois de chegar na resposta precisamos manipulá-la para se adequar alguma alternativa.

oiii, o senhor pode explicar como achou a altura h ???

Gemma Galgani escreveu:oiii, o senhor pode explicar como achou a altura h ???

Mas eu não achei a altura h, achei o h_máximo.
Como o triângulo APB é inscrito num semicírculo (condição do enunciado) a máxima altura possível é igual ao raio de círculo;
Note que h_máx não é a posição que está nesse desenho mas sim quando seu pé fica exatamente no centro do círculo. Nesta posição o h_máx divide o triângulo APB em dois triângulos retângulo isósceles de catetos R, onde PA e PB são as respectivas hipotenusas.

Medeiros escreveu:

Gemma Galgani escreveu:oiii, o senhor pode explicar como achou a altura h ???

Mas eu não achei a altura h, achei o h_máximo.
Como o triângulo APB é inscrito num semicírculo (condição do enunciado) a máxima altura possível é igual ao raio de círculo;
Note que h_máx não é a posição que está nesse desenho mas sim quando seu pé fica exatamente no centro do círculo. Nesta posição o h_máx divide o triângulo APB em dois triângulos retângulo isósceles de catetos R, onde PA e PB são as respectivas hipotenusas.

Desculpe-me a insitÊncia, o senhor achou PA e PB pelo seno de 45, ja q sao triangulos isoceles, ok

Agora pq somasse PA com PB, n tendi essa manipulaçao

Gemma Galgani escreveu:Desculpe-me a insitÊncia, o senhor achou PA e PB pelo seno de 45, ja q sao triangulos isoceles, ok

Agora pq somasse PA com PB, n tendi essa manipulaçao

1)
nok. Na verdade não pensei em seno algum. Na minha cabeça os dois triângulos retângulos isósceles são metade de um quadrado e já sei que a diagonal (hipotenusa) é lado vezes raiz de 2 (por Pitágoras) -- faço a conta desta forma.

2)
Porque TODAS as alternativas pedem uma relação entre PA, PB e AB.
As alternativas (b) e (d) são absurdas. Restam as alternativas (a), (c) e (e); destas, as duas últimas apresentam uma soma de PA com PB, fui procurar a resposta através deste caminho. Chegamos em algo parecido com a alternativa (e), porém NÃO igual; afinal, após uma manipulação (elevamos os dois membros ao quadrado), chegamos na alternativa (a) do gabarito.

Nesta questão, o assunto das Lúnulas é quase que só enfeite; esta parte terminou na primeira linha que enquadrei a vermelho, depois disso falamos somente do triângulo retângulo. A síntese da questão é saber qual a relação entre os lados de um triângulo inscrito num semicírculo para que sua área seja máxima.

O "truque" que sempre está rondando minha cabeça é a todo instante me perguntar "e se...". E se for isso? e se não for? E se eu fizer assim? e se fizer assado? Claro que estas conjecturas só funcionam se você tiver em dia com a teoria e raciocinar usando boas as práticas matemáticas.