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CIRCUNFERÊNCIA

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Resolvido CIRCUNFERÊNCIA

Mensagem por Jvictors021 Sab 17 Jul 2021, 01:28

Determinar a circunferência circuscrita ao triângulo de vértices (5,4), (6,1) (-3,-2)

R = (x-1)^2 + (y-1)^2 = 25


Última edição por Jvictors021 em Sab 17 Jul 2021, 11:13, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: CIRCUNFERÊNCIA

Mensagem por tales amaral Sab 17 Jul 2021, 08:04

Fiquei um tempão tentando colocar uma circunferência dentro do triângulo e depois percebi que ela fica fora  lol!.

Seja nossa circunferência [latex](x-x_c)^2 +(y-y_c)^2 = r^2[/latex]. 


Ela toca o triângulo em 3 pontos (em seus vértices):




[latex]\begin{cases} (5-x_c)^2 +(4-y_c)^2 &= r^2\\~\\ (6-x_c)^2 +(1-y_c)^2 &= r^2\\~\\ (3+x_c)^2 +(2+y_c)^2 &= r^2 \end{cases}[/latex]



Resolvendo:


[latex]\begin{align*} (5-x_c)^2 -(6-x_c)^2 &= (1-y_c)^2 -(4-y_c)^2\\~\\ (5+6-2x_c)(5-6) &= (1+4-2y_c)(1-4)\\~\\ 11-2x_c &= 3\cdot(5-2y_c)\\~\\ 11-2x_c &= 15-6y_c\\~\\ x_c &=3y_c- 2 \end{align*}[/latex]


[latex]\begin{align*} (6-x_c)^2 +(1-y_c)^2 &= (3+x_c)^2 +(2+y_c)^2 \\~\\ (6-x_c)^2-(3+x_c)^2 &=(2+y_c)^2 -(1-y_c)^2 \\~\\ (6-x_c-3-x_c)(6-x_c+3+x_c) &= (2+y_c+1-y_c)(2+y_c -1+y_c) \\~\\ 9\cdot(3-2x_c)&=3\cdot(1+2y_c) \\~\\ 9-6x_c &= 1+2y_c \\~\\ 5-3\cdot(3y_c- 2) &=y_c \\~\\ 5-9yc +6 &= 2y_c \\~\\ 11 &= 11y_c \\~\\ y_c &= 1\end{align*}[/latex]



[latex]\begin{align*} x_c &=3y_c- 2 \\~\\ & = 3-2 \\~\\ &= 1\end{align*}[/latex]



Descobrindo o valor do raio:




[latex]\begin{align*} (5-1)^2 +(4-1)^2 &= r^2 \\~\\ 16+9 &= r^2 \\~\\ r^2 &= 25 \end{align*}[/latex]



Então nossa equação é  [latex](x-1)^2 +(y-1)^2 = 25[/latex]
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Jvictors021 gosta desta mensagem

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Resolvido Re: CIRCUNFERÊNCIA

Mensagem por Jvictors021 Sab 17 Jul 2021, 11:12

@tales amaral escreveu:Fiquei um tempão tentando colocar uma circunferência dentro do triângulo e depois percebi que ela fica fora  lol!.

Seja nossa circunferência [latex](x-x_c)^2 +(y-y_c)^2 = r^2[/latex]. 


Ela toca o triângulo em 3 pontos (em seus vértices):




[latex]\begin{cases} (5-x_c)^2 +(4-y_c)^2 &= r^2\\~\\ (6-x_c)^2 +(1-y_c)^2 &= r^2\\~\\ (3+x_c)^2 +(2+y_c)^2 &= r^2 \end{cases}[/latex]



Resolvendo:


[latex]\begin{align*} (5-x_c)^2 -(6-x_c)^2 &= (1-y_c)^2 -(4-y_c)^2\\~\\ (5+6-2x_c)(5-6) &= (1+4-2y_c)(1-4)\\~\\ 11-2x_c &= 3\cdot(5-2y_c)\\~\\ 11-2x_c &= 15-6y_c\\~\\ x_c &=3y_c- 2 \end{align*}[/latex]


[latex]\begin{align*} (6-x_c)^2 +(1-y_c)^2 &= (3+x_c)^2 +(2+y_c)^2 \\~\\ (6-x_c)^2-(3+x_c)^2 &=(2+y_c)^2 -(1-y_c)^2 \\~\\ (6-x_c-3-x_c)(6-x_c+3+x_c) &= (2+y_c+1-y_c)(2+y_c -1+y_c) \\~\\ 9\cdot(3-2x_c)&=3\cdot(1+2y_c) \\~\\ 9-6x_c &= 1+2y_c \\~\\ 5-3\cdot(3y_c- 2) &=y_c \\~\\ 5-9yc +6 &= 2y_c \\~\\ 11 &= 11y_c \\~\\ y_c &= 1\end{align*}[/latex]



[latex]\begin{align*} x_c &=3y_c- 2 \\~\\ & = 3-2 \\~\\ &= 1\end{align*}[/latex]



Descobrindo o valor do raio:




[latex]\begin{align*} (5-1)^2 +(4-1)^2 &= r^2 \\~\\ 16+9 &= r^2 \\~\\ r^2 &= 25 \end{align*}[/latex]



Então nossa equação é  [latex](x-1)^2 +(y-1)^2 = 25[/latex]







Você é o cara!!! tamo junto e muito obrigado!!
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Resolvido Re: CIRCUNFERÊNCIA

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