Equações e inequações trigonométricas

por DGL72021 13/7/2021, 9:00 pm

Sendo U = [0,2pi], resolva as equações:
a) sen2x=√3/2

Equações e inequações trigonométricas 20210711

gabarito: S={pi/3,pi/6,7pi/6,4pi/3}

Eu fiz da seguinte maneira:
sen2x= sen pi/3
2x=a
sen a= sen pi/3
a=pi/3
a=pi - pi/3
a=2pi/3
2x=pi/3
x=pi/6
2x=2pi/3
x=pi/3 não consegui encontrar o 7pi/6 e o 4pi/3, gostaria da explicação de como acha-los.

por **gabriel de castro** 13/7/2021, 9:33 pm

E aí DGL72021, tudo bem?

Podemos resolver da seguinte forma:

[latex]\left \{ \begin{array}{l} \sin 2x_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\Rightarrow\;2x_{1}=\frac{\pi}{3}\;\therefore\;\boxed{x_{1}=\frac{\pi}{6}} \\\\ \sin 2x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\;\Rightarrow\;2x_{2}=\frac{2\pi}{3}\;\therefore\;\boxed{x_{2}=\frac{2\pi}{6}=\frac{\pi}{3}} \end{array} \right.[/latex]

Note que ambos os ângulos estão dentro do intervalo delimitado no enunciado, então, vamos adicionar π neles para encontrarmos seus semelhantes, dessa forma:

[latex]\left \{ \begin{array}{l} x_{3}=\frac{\pi}{6}+\pi\;\therefore\;\boxed{x_{3}=\frac{7\pi}{6}} \\\\ x_{4}=\frac{\pi}{3}+\pi\;\therefore\;\boxed{x_{4}=\frac{4\pi}{3}} \end{array} \right.[/latex]

Repare agora que caso continuássemos adicionando pi aos valores conseguintes obteríamos resultados fora do intervalo solicitado, ou seja, nosso conjunto solução será S={π/3; π/6; 7π/6; 4π/3}

Espero ter ajudado Smile

por DGL72021 13/7/2021, 9:54 pm

O semelhante de ∏ /6 não seria 5∏/6? 7∏/6 = -1/2 e 5∏/6=1/2? 7∏/6 não estaria no terceiro quadrante e seria negativo?
x+∏/6= ∏
x= ∏- ∏/6
x=5∏/6
Agradeço desde já a ajuda, só tirar essa dúvida.

por **gabriel de castro** 13/7/2021, 10:39 pm

Concordo contigo que π/6 e 5π/6 são semelhantes, mas ponha eles na equação dada (sen2x) e verá que eles resultarão em números opostos; reitero que quando adicionamos o π garantimos que isso não irá acontecer, estaremos mantendo as propriedades. Enfim, acredito que esteja esquecendo desse fator 2 e/ou talvez tenha me expressado mal, mas os semelhantes se referem ao resultados que obteremos ao efetuarmos o cálculo por meio da função. Aliás, esse é o gráfico dela: