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Equações e inequações trigonométricas

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Resolvido Equações e inequações trigonométricas

Mensagem por DGL72021 Seg 19 Jul 2021, 01:59

Obtenha x de modo que:
a) sen x = cos 2x
b) cos x = sen 2x
c) sen x = -sen2x
d) cos x = cos 2x
Estou com dúvida na parte do k∏ toda vez eu erro o que tem que por. Eu cheguei nos resultados dos ângulos o problema é calcular o k∏ não estou entendendo.
Gabarito:
a) x =∏/6 +2k∏/3, k ∈ Z. 
b) x = ∏/6+2k∏ ou x=∏/2+ k∏ ou x= 5∏/6 + 2k∏, k ∈ Z 
c)  x = ±­ 2∏/3 + 2k ou x=k∏, k ∈ Z
d) x = 2k∏/3, k ∈ Z


Última edição por DGL72021 em Seg 19 Jul 2021, 21:20, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Equações e inequações trigonométricas

Mensagem por qedpetrich Seg 19 Jul 2021, 06:34

Relembrando da teoria:

sen α = sen β => α = β + 2kπ   ou   α = π-β + 2kπ
cos α = cos β => α = β + 2kπ ou α = -β + 2kπ

a) sen(x) = cos(2x) => cos(π/2-x) = cos (2x) => π/2-x = 2x => 3x = π/2 + 2kπ => x = π/6 + 2kπ/3, os valores de -π/6 + 2kπ/3 são descartados pois sen(-π/6 + 2kπ/3) ≠ cos(-π/3 + 4kπ/3), onde ∈ Z


b) cos (x) = sen(2x) => cos(x)[1-2sen(x)] = 0 => cos(x) = 0 ou [1-2sen(x)] = 0 => Se cos(x) = 0 = cos(π/2) => x = π/2 + kπ ou 1-2sen(x) = 0 => sen(x) = 1/2 = sen(π/6) => x = π/6 + 2πk ou 5π/6 + 2kπ, onde ∈ Z



Sempre que estiver na dúvida de equações trigonoméricas é útil você desenhar o círculo trigonométrico e tentar marcar os respectivos arcos, ajuda na hora de você visualizar o problema!

Tente fazer para c e para d.
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Resolvido Re: Equações e inequações trigonométricas

Mensagem por DGL72021 Seg 19 Jul 2021, 16:34

c) Sen x = -2senxcosx => cosx=-1/2 => cosx=cos 2∏/3 => x=±2∏/3  
 sen2x= 0+ 2k∏ => 2x = 2k∏ => x=k∏ 
x=±2∏/3+ 2k∏ ou x=k∏, k  ∈ Z


d)cosx=cos²x-sen²x => cos x= cos²x -1+cos²x => 2cos²x-cosx -1=0 => y=cosx =>2y²-y-1=0
=>y'=1 e y''=-1/2 => cosx=1 => cos x=cos0 => x=0 => cosx=-1/2=> cosx=cos2∏/3=> x=2∏/3
Aí que tá, a solução do gabarito é x=2k∏/3 eu colocaria aqui x= ±2∏/3 + 2k∏ ou x=2k∏,k∈Z  por que é 2k∏/3?


Na letra a) eu fiz pelo senx encontrei ∏/6+ 2k∏ se tivesse feito pelo cosseno teria encontrado o valor do gabarito, Como eu disse estou com dúvida na hora de escrever a solução.

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Resolvido Re: Equações e inequações trigonométricas

Mensagem por qedpetrich Seg 19 Jul 2021, 21:12

Boa noite

d) cos x = cos 2x => cos x - cos 2x = 0 Aplicando prostaférese temos :

-2sen(3x/2)sen(-x/2) = 2sen(3x/2)sen(x/2) = 0 Para que está equação se torne nula ou sen(3x/2) = 0 ou sen(x/2) = 0, portanto:

Se sen(3x/2) = 0 => Creio que seja aqui que você deve estar tendo dificuldades, pense no círculo trigonométrico, quando o eixo dos senos se torna nulo? Quando x assume k π. Logo:

3x/2 = k π => x = 2k π/3

Se sen(x/2) = 0 => x/2 = k π => x = 2k π. Note que chegamos em duas soluções distintas, porque o gabarito traz somente uma das duas soluções? Veja que a segunda solução 2k π está contida na primeira solução 2k π/3, se k = 3 => x = 2π. Espero ter sido claro.
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Resolvido Re: Equações e inequações trigonométricas

Mensagem por Carolzita Lisboa Ter 20 Jul 2021, 19:46

Se garantem!

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Resolvido Re: Equações e inequações trigonométricas

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