Princípio das gavetas

por Cristina Lins Qua 23 Jun 2021, 11:26

Mostre que existe um múltiplo de 1997 cujos dígitos são todos iguais a 1

por **SilverBladeII** Qua 23 Jun 2021, 23:01

tome os números 1, 11, 111, 1111, ..., 111...11, o ultimo composto de 1998 numeros.
Temos 1998 numeros nessa lista. Como 1997 tem no 1997 restos diferentes, ao menos dois dos numeros na lista tem que deixar mesmo resto na divisão por 1997, e portanto a diferença entre eles é divisivel por 1997. Mas a diferença é da forma
111...11100...000=111...111*10^n=k*10^n.
Como mdc(1997, 10^n) é 1, resta que 1997 divide k

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