Funções biunívocas

Sejam n ≤ m, Im = {1, 2, ..., m} e In = {1, 2, ..., n}. O número de funções biunívocas definidas em Im com valores em In é:

Para a função ser bijetora (bijetiva, ou injetora e sobretora, ou correspondência biunívoca...), o seu domínio tem que ser igual ao seu codomínio, e esse ser a própria imagem da função.

Prefiro sempre os termos conjunto de partida, de chegada e mapeado em vez de domínio, contradomínio (ou codomínio) e imagem.

A representação gráfica, esquemática de uma funçã bijetora é :



O enunciado tem erro na transcrição/digitação: "Sejam n m ≤ ... "

Se, na questão original,  for n ≤ m , então:

O trecho "definidas em Im com valores em In " nos diz que a partida é Im e a chegada e imagem (mapeado) é In.

Para ser função bijetora, teremos que ter os dois conjuntos com o mesmo nº de elementos.

E como, para ser função, temos que usar todos os elementos do domínio (partida), tem-se:

n(Im) = n(In) = m

Im = In = { 1; 2; 3; ...; m }

Do produto cartesiano  Im X In teremos um total de m x m =  m² pares (x;y) possíveis.

Im X In = R = { (x;y) | x∈P ∧ y∈C }

n(R) = m*n = m*m = m²

Do conjunto relações R podemos tirar 2^(m²)  subconjuntos, ou em outras palavras, relações possíveis.

Mas, só nos interessam as relações que sejam funções e bijetoras.

E cada função Fi tem um conjunto de m pares, nos quais, necessariamente, o primeiro elemento do par ( o "x") é do conjunto Im:

Fi = { (1; ...); (2; ...); ...; (m; ...) }

Ora, para calcularmos quantas funções são, basta se calcular todos os arranjos (já que a posição ou ordem diferencia cada função) de m elementos apanhados de m em m, ou seja, as permutações possíveis do conjunto de chegada que tem m elementos:

Arra(m;m) = Pm = m!

Suponha:

m=4 ==> Im = I4 = {1; 2; 3; 4}

n=3 ==> In  = I3  = (1; 2; 3}

Não poderíamos formar sequer uma função bijetora já que m>n (4>3) e, como TEMOS que usar todos elementos de Im, algum elemento de In estaria relacionado com 2 elementos de Im:




Portanto, a resposta poderia ser arra(m; n) SE E SOMENTE SE m = n

Repare, Gilson, como é IMPORTANTE você transcrever corretamente a questão...

Foi um erro já consertado, estou te parabenizando por uma solução muito bem explicada, uma dúvida, suponha um conjunto A finito com m elementos e In = {1,2, ..., n}, qual seria o número de todas as funções definidas em In
com valores em A ?

Agradeço pela atenção.

Agradeço ! ⇒

Recapitulando, generalizando e sintetizando:

Produto Cartesiano de dois ou mais conjuntos é o conjunto de todas as ênuplas (n-tuplas ou n-uplas) posíveis, onde os constituintes da ênuplas estão na mesma ordem dos seus conjuntos no produto.

Seja P = A × B × C ⇒ P = {(a; b; c) | a∈ A, b∈ B, c∈ C }

O último conjunto do produto cartesiano é o conjunto de chegada ou saída ou contradomínio ou codomínio, variável dependente, mapeado ou valores da função.

Os anteriores são denominados de domínio, partida, entrada ou índice. Seus elementos são chamados de argumentos, índices, chaves ou variáveis independentes.

Relação (associação) entre 2 ou mais conjuntos é qualquer subconjunto do produto cartesiano.

Ri ⊂ P

Função (ou Aplicação) é uma Relação onde:

(1)Cada arranjo dos elementos dos conjuntos de partida, onde cada conjunto participa com só um elemento, está associado a um e somente um elemento do conjunto de chegada.

(2) Excetuando-se o conjunto de chegada, todos os outros conjuntos têm todos os seus elementos fazendo parte das ênuplas.

Valores da função ou conjunto Imagem é o subconjunto dos elementos associados do conjunto de chegada.

------------------------------ //-----------------------

Daí temos:

A = {a1; a2; ... am}

In = (1; 2; ...; n}

n(A) = nº de elementos de A = m

n(In) = n

Por (1) temos que usar todos os m elementos de A

Por (2) cada elemento de Aso me leva a UM E SOMENTE UM de In (ou, simplesmente, de cada "a" só sai uma seta...)

Então, supondo:

A = {1; 2}

In = {1; 2; 3}

teremos:

Fi = { (1; ...); (2; ... ) }

ou seja:

F1 = { (1; 1); (2; 1 ) }

F2 = { (1; 2); (2; 2 ) }

F3 = { (1; 3); (2; 3 ) }

F4 = { (1; 1); (2; 2 ) }

F5 = { (1; 1); (2; 3 ) }

F6 = { (1; 2); (2; 3 ) }

F7 = { (1; 2); (2; 1 ) }

F8 = { (1; 3); (2; 1 ) }

F9 = { (1; 3); (2; 2 ) }

O mais simples é pensar que tenho dois lugares para colocar 3 coisas, podendo haver repetições das coisas e a posição importa. Logo falamos de arranjos ( posição importa) e repetição.

Método do Tracinho:

? ? ==> 3*3 = 9
3 3

ou usar a fórmula:

AR(3; 2) = 3² = 9

No nosso caso geral, então:

Número de funções possíveis: n^m

E vamos lá !

Saudações funcionais.