Progressão Aritimética / Somatórios

(Mackenzie-99) Se [latex]\sum_{n=1}^{k}(4n-104) > 0 [/latex] , então o menor dos possíveis valores de k é:

a) 51

b) 52

c) 53

d) 54

e) 55

Resposta: 

O que eu tentei fazer foi:

-> para n = 1, temos -100

-> para n = 2, tempos -96

-> para n = 3, temos -92

Ou seja, o somatório é a soma dos k primeiros termos de uma progressão aritimética cujo primeiro termo vale -100 e a razão 4.
Utilizando a fórmula da soma dos n termos de uma P.A., eu obtive que a soma vale 0 quando k = 51, consequentemente, o menor valor para que a soma seja positiva é k = 52 (considerando que k precisa ser um natural). Eu coloquei o somatório no Wolfram Alpha e ele confirmou meu resultado  . O somatório vale 0 quando o k = 51. É possível que o gabarito esteja errado, mas caso contrário, agradeço se alguém puder mostrar onde errei.

[latex]\begin{align*}
\sum_{n=1}^{k}(4n-104)&=4\sum_{n=1}^{k}n-\sum_{n=1}^{k}104\\
&=4\cdot\frac{k(k+1)}{2}-104k\\
&=2(k^2+k)-104k\\
&=2k^2-102k
& > 0\\
\implies k & > 51
\end{align*}[/latex]
pois k > 0.
Isso significa que o menor k satisfazendo o desejado é k=52

Outro modo de enxergar

Temos inicialmente uma PA com termos negativos: -100 , -96 , - 92 .......... , - 4

A soma destes termos vale S = - 4 - ..... - 92 - 96 - 100

Vejamos quantos termos negativos existem:

an = a1 + (n - 1).r ---> - 4 = - 100 + (n - 1).4 ---> n = 25

O 26º termo vale ---> a26 = - 100 + (26 - 1).4 ---> a26 = 0

Para zerar a soma precisamos de 25 termos idênticos, positivos:

+ 4 + ...... + 92 + 96 + 100

Já temos, portanto 25 termos negativos, 1 termo nulo e 25 positivos, num total de 51 termos

A soma total destes 51 termos é nula

Para termos uma soma total positiva precisamos de mais 1 termo positivo, totalizando, portanto, k = 52 termos

Neste caso a alternativa correta seria a b)

Gostaria de saber a opinião de vocês sobre minha solução.

Elcioschin escreveu:Outro modo de enxergar

Temos inicialmente uma PA com termos negativos: -100 , -96 , - 92 .......... , - 4

A soma destes termos vale S = - 4 - ..... - 92 - 96 - 100

Vejamos quantos termos negativos existem:

an = a1 + (n - 1).r ---> - 4 = - 100 + (n - 1).4 ---> n = 25

O 26º termo vale ---> a26 = - 100 + (26 - 1).4 ---> a26 = 0

Para zerar a soma precisamos de 25 termos idênticos, positivos:

+ 4 + ...... + 92 + 96 + 100

Já temos, portanto 25 termos negativos, 1 termo nulo e 25 positivos, num total de 51 termos

A soma total destes 51 termos é nula

Para termos uma soma total positiva precisamos de mais 1 termo positivo, totalizando, portanto, k = 52 termos

Neste caso a alternativa correta seria a b)

Gostaria de saber a opinião de vocês sobre minha solução.

Eu particularmente só consigo aprender de fato um conteúdo, em especial ao que se refere a matemática e física, quando compreendo a lógica do fato, sem necessidade de nenhuma fórmula ou rigor técnico, apenas ter em mente a clareza lógica que apenas a matemática oferece. Então eu sempre gosto de ver também esse tipo de resolução.