Fatoração em um nível a mais.

Sejam a, b, c e d números reais tais que a^3 + b^3 + c^3 + d^3 = a + b + c + d = 0. Prove que a soma de um par destes números é igual a zero.

Como provar e fatorar questões desse tipo?

Tente asssim:

[(a + b) + (c + d)]³ = (a + b)³ + 3.(a + b)².(c + d) + 3.(a + b).(c + d)² + (c + d)³

Desenvolva, faça (a + b + c + d) = 0 , (a³ + b³ + c³ + d³) = 0 e agrupe os demais termos colocando (a + b) e (c + d) em evidência

Depois tente completar

Obrigado! Consegui fazer.

Então poste o passo-a-passo da sua solução.
Todos estamos aqui para aprender e para ensinar.

Seja como acima:

[(a+b) + (c+d)]^3 = (a + b)^3 + 3.[(a + b)^2].(c + d) + 3.(a + b).[(c + d)^2] + (c + d)^3
= a^3 + 3.[(a)^2].b + 3.a.b^2 + b^3 + 3.[(a + b)^2].(c + d) + 3.(a + b).[(c + d)^2]+ c^3 + 3.[(c)^2].d + 3.c.[(d)^2] + d^3

Lembrando que (a + b) = - (c + d) podemos simplesmente cortar os termos 3.[(a + b)^2].(c + d) + 3.(a + b).[(c + d)^2], pois estes são simétricos.
Ainda, lembrando que a^3 + b^3 + c^3 + d ^3 = 0, resta:

[(a + b) + (c + d)]^3 = 3.[(a)^2].b + 3.a.[(b)^2] + 3.c.[(d)]^2 = 3.(a + b).(ab - cd)

Só que a + b + c + d = 0, então:

0 = 3.(a + b).(ab - cd), portanto: a + b = 0.