FGV - Inequação - Trigonometria

por Felipe Pereira Sales Qua 02 Jun 2021, 21:11

FGV - A solução da inequação [latex]\sqrt{2}cos^2 x > cos x[/latex] no intervalo [0, pi] é:

a) [latex]0\leqslant x< \pi/4[/latex] ou [latex]\pi/2< x\leq \pi[/latex]

b) [latex]0\leqslant x< \pi/3[/latex] ou [latex]2\pi/3< x\leq \pi[/latex]

c) [latex]0< x< \pi/6[/latex] ou [latex]2\pi/3 < x< \pi[/latex]

d) [latex]\pi/4< x< 2\pi/3[/latex]

e) nda

por Nicolas Moreira Qui 03 Jun 2021, 09:33

Primeiramente vamos chamar "cosx" de k para facilitar a visualização da inequação:
[latex]\sqrt{2}k^{2} > k [/latex]

[latex]\sqrt{2}k^{2}-k > 0 [/latex]

Perceba que do lado esquerdo da inequação temos uma parábola de raízes (0 e √2/2) , portanto a parábola será positiva à "esquerda do 0" ou a "direita do √2/2"
Logo:
[latex]k < 0 \therefore -1\leqslant cosx < 0[/latex]

Porém temos que lembrar que x nesse caso está entre 0 e "π"
Logo o cosseno só será negativo (menor que 0) se o "x" estiver entre "π e π/2" (180 e 90 graus)
Logo a primeira solução é:
[latex] \pi/2 < x \leqslant \pi[/latex]

A segunda solução ocorrerá quando:

[latex]\frac{\sqrt{2}}{2} < cosx \leqslant 1[/latex]

[latex]cos(\pi/4 ) < cosx \leqslant cos(0)[/latex]

Lembre-se que no intervalo de 0 até 90 graus (0 até pi/2) o cosseno é decrescente , logo essa segunda solução vai consistir em:
[latex]0 \leqslant x <\pi/4[/latex]

A solução do problema nada mais será que a união das duas soluções:

S = [latex]0 \leqslant x <\pi/4[/latex] OU [latex] \pi/2 < x \leqslant \pi[/latex]

LETRA A