Ufba - Sendo x a medida de um arco

por Felipe Pereira Sales Qui 03 Jun 2021, 00:50

Ufba - Sendo x a medida de um arco, em radianos, determine as soluções da equação

[latex]4cos^2 (\pi/4)*cos x * sen (\pi/2 - x) - cos(x+7\pi) + sen(11\pi/2) = 0[/latex]

O que pertence ao intervalo [-6, 8].

por Nicolas Moreira Qui 03 Jun 2021, 14:09

Primeiramente vamos trabalhar algumas informações da questão antes de utilizar a expressão em si.

[latex]sen(\frac{\pi }{2} -x) = cosx[/latex]

Essa já é uma identidade trigonométrica muito conhecida, basta traçar um triângulo retângulo e comparar o cosseno e seno dos ângulos complementares para ver que é verdade.

[latex]cos(x + 7\pi ) = cos(x + \pi +2(3\pi )) = cos(x+\pi ) = -cos(x)[/latex]

Nessa dai eu apenas separei o "7" em 1 + 6 pois quando temos "6pi" , isso é uma quantidade inteira de "voltas" no circulo trigonométrico , então podemos simplesmente descarta-lo. E ai basta relembrar das aulas de redução ao 1 quadrante, onde cos(x+pi) vale -cos(x)

Por último:

[latex]sen(\frac{11\pi }{2}) = sen(\frac{3\pi }{2} + 4\pi ) = sen(\frac{3\pi }{2} ) = -1[/latex]

Ai eu apliquei um raciocinio semelhante ao anterior , como "4pi" é uma quantidade inteira de voltas podemos descarta-lo.

então a nossa equação fica da seguinte forma:

[latex]4(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}cosx(cosx) - (-cosx) - 1 =0[/latex]

[latex]2(cosx)^{2} + cosx - 1 = 0[/latex]

Aplicando soma e produto ou bhaskara em relação a cos(x) chegamos em duas soluções:

1º solução:

[latex]cosx = -1[/latex]

O unico arco que possui cos igual a -1 é o "pi" e seus arcos congruos, logo:

[latex]x = \pi +2k\pi [/latex]

Porém a unica solução válida nesse caso será k = {0,-1} pois se k for maior que 0 ou menor que -1 , não cumprirá os requisitos de x estar no intervalo de -6 até 8

logo no PRIMEIRO CASO as soluções são:

x = [latex]x = \pi [/latex] OU [latex]x = -\pi [/latex]

Porém temos o segundo caso da equação onde :

cosx = 1/2

Nesse caso os unicos arcos válidos são o x = pi/3 e x = -pi/3 e todos os arcos congruôs a estes , logo:

[latex]x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi [/latex] OU [latex]x = -\frac{\pi }{3} + 2k\pi [/latex]

Analisando as soluções desse novo caso chegamos em:

quando temos[latex]x = \frac{\pi }{3} + 2k\pi [/latex] podemos ter k = 0, k = 1 e k = -1

o que resultará nas soluções x = [latex]{\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3},-\frac{5\pi }{3}}[/latex]

quando temos [latex]x = -\frac{\pi }{3} + 2k\pi [/latex] podemos ter k = 0 e k = 1

o que resultará nas soluções x = [latex]{-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3}}[/latex]

Portanto juntando todas as soluções vemos que o conjunto solução é:

S = {[latex]{\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3},-\frac{5\pi }{3}},-\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\pi ,-\pi [/latex]}

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