EN - Determinantes e Binômio de Newton

EN 2017) Se a = √(3 + √2 ) e b = √(3 - √2 ), seja k o determinante da matriz 
| 1+a   1       1      1   | 
|   1   1-a      1      1   | 
|   1      1   1+b     1   |  
|   1      1      1    1-b  |  
sendo assim, é correto afirmar que o coeficiente de x^(k-1)  no desenvolvimento  
(2x + (1/x²) )³ .  (x² + (1/2x) )³ é:

a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25


Resolvendo, encontrei 12, não entendi porque as pessoas multiplicam por dois no final do binômio de newton. Essa não é a primeira vez que vejo questões que envolvem a multiplicação dois binômios de newton, no fim, multiplicam o resultado por dois. É minha dúvida. Por que ao fazer Tp+1 . Tq+1 = 12x^6 preciso multiplicar o 12 por 2?
teria alguma relação com o p+q=1, uma vez que deve-se considerar (0,1) e (1,0) para os valores de p e q?

*resolvendo o determinante, temos:

k = a^2 * b^2 = (3+√2)(3-√2) = 9 - 2 = 7

I) No polinômio:

[latex]P(x) = \left (2x + \frac{1}{x^2} \right )^3 \cdot \left (x^2 + \frac{1}{2x} \right )^3[/latex]


[latex]P(x) = \left (\frac{2x^3 + 1}{x^2} \right )^3 \cdot \left (\frac{2x^3 + 1}{2x} \right )^3[/latex]


[latex]P(x) = \frac{\left (2x^3 + 1 \right )^6}{8x^9}[/latex]


[latex]P(x) = \frac{1}{8x^9}\cdot \sum_{n=0}^{6}\left [\binom{6}{n}\cdot (2x^3)^n \right ][/latex]


[latex]P(x) = \frac{1}{8x^9}\cdot \sum_{n=0}^{6}\left [\binom{6}{n}\cdot 2^n \cdot x^{3n} \right ][/latex]


[latex]P(x) = \sum_{n=0}^{6}\left [\binom{6}{n}\cdot 2^{n-3} \cdot x^{3n-9} \right ][/latex]


II)Para x^6 temos:

3n - 9 = 6
n = 5


III)Com isso,

[latex]C_{5} = \binom{6}{5}\cdot 2^{5-3} = 6 \cdot 4[/latex]


[latex]C_{5} = 24[/latex]