identidades trigonométricas

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\[
\begin{align*}
E & = \cos \left( \frac{\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{2\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{4\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
2E \cdot \sin \left( \frac{\pi}{15} \right)& = 2 \sin \left( \frac{\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{2\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{4\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
& = \sin \left( \frac{2\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{2\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{4\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
& = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( \frac{4\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{4\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
& = \frac{1}{4} \cdot \sin\left( \frac{8\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
& = \frac{1}{4} \cdot \sin \left( \frac{7\pi}{15} \right)  \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{7\pi}{15} \right) \\
& = \frac{1}{8} \cdot \sin \left( \frac{14\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right) \\
2 E \cdot \sin \left( \frac{\pi}{15} \right)& = \frac{1}{8} \cdot \sin\left( \frac{\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{3\pi}{15} \right)\cos \left( \frac{5\pi}{15} \right) \cos \left( \frac{6\pi}{15} \right) \\
2E& = \frac{1}{8} \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) \cos \left( \frac{2\pi}{5} \right) \\
& =\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} \cdot \left[ \cos\left( \frac{3\pi}{5} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) \right]
\end{align*}
\]
Lembrando que \( \cos \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{ 1 + \sqrt{5}}{4} \) e que \( \cos (2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 \):
\[
\begin{align*}
2E & = \frac{1}{32} \left[ -\cos\left( \frac{2\pi}{5} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{5} \right)\right] \\
& = \frac{1}{32} \left[ 1 - \frac{6 + 2 \sqrt{5}}{8} + \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \right] \\
& = \frac{1}{32} \left[ 1 - \frac{3 + \sqrt{5}}{4} + \frac{1 + \sqrt{5}}{4} \right] \\
& = \frac{1}{32} \left[ 1 - \frac{2}{4} \right] \\
& = \frac{1}{32} \left[  \frac{1}{2} \right]
\end{align*}
\]
Assim, \( E = \frac{1}{128} \).