Geometria Analítica

Considere os pontos A = (1, −2), B = (3, −5) e as retas r : 2x + y + 1 = 0 e [latex]s:\left\{\begin{matrix} x=-2+t\\ y=-4+3t \end{matrix}\right. [/latex] onde t [latex]\epsilon \mathbb{R}[/latex]

Vou resolver pra você!

Na A) se as retas forem paralelas, não há pontos de interseção entre r e s, como o próprio enunciado diz que r e s não são paralelas, logo existe interseção.

a reta S precisa ser encontrada, perceba que ela está parametrizada a "t".
para encontrar S precisamos de 2 pontos quaisquer.

para facilitar os cálculos escolhi: 1 e 2, mas voce pode escolher qualquer número!

t'=1 x=-2+1 =-1 logo temos (-1, -1)
      y=-4+3 =-1

t''=2 x= -2+2= 0 logo temos (0, -2)
        y=-4+6= -2

com estes dados em mãos vamos jogar numa matriz 3x3 e usar o método de sarrus pra encontrar a determinante que é a equação da reta S.

[x    y  1]        [x    y  1]
[xa ya  1] →→  [-1 -1  1]
[xb yb  1]        [0  -2  1] 

chamamos xa: -1
ya: -1
xb: 0
yb: -2

repetindo a 1° e 2° coluna para encontrar a determinante:

[x    y  1] x y
[-1 -1  1]-1 -1
[0  -2  1]0 -2

obtemos: -x+0+2+y+2x+0
resultando em: x+y+2
que é a equação da reta S.


B) sabendo a condição do item A), encontre o ponto C.
Graficamente a reta não é paralela, e para encontrar esse ponto de interseção, as retas tem que estar igualadas a 0!
se não, não há esboço grafico (vide geogebra)

 sabemos que R é:    2x+y+1 =0
 e no item A) descobrimos que, S é: x+y+2=0

Resolvemos este sistema simples, multiplicando a linha da equação s por -2, eliminando a variavel x:

2x+y+1 =0
-2x-2y-4 =0
-----------------
0-y-3=0
y=-3

Substituimos y na equação S:
x-3+2=0

Isolamos x=3-2
x=1

logo o ponto C de interseção é (1, -3)



C) resolvi onde diz pra determinar a eq. cartesiana da reta M que intersecta a e b...

sendo a eq. geral da reta pela forma matricial:

[x    y  1]
[xa ya  1]
[xb yb  1]

A(xa, ya) e B(xb, yb)
temos: 
xa= 1, ya =-2, xb =3, e yb =-5

substuindo na matriz:

[x y 1]
[1 -2 1]
[3 -5 1]

precisamos definir o determinante, e escolhi sarrus.
repetindo a coluna 1 e 2, temos:
 [x y 1] x y
[1 -2 1]1 -2
[3 -5 1]3 -5

obtemos: -2x+3y-5-y+5x+6 

assim obtemos a reta m que passa por a e b: 3x+2y+1=0 


D) com o ponto C (1,-3) em mãos voce precisa encontrar a distancia até essa reta m.


para isso você terá C(1,-3)
e os coeficientes da reta: a=3 b=2 c=1 em mãos.


e distancia é definida por d= |ax + by +c| / √a²+b²