Jogos e estratégias vencedoras

→ Dois irmãos gêmeos, Netuno e Posseidon possuiam várias bolas de gude distribuídas em 3 grupos. O primeiro tinha 10 bolas, o segundo 15 bolas e o terceiro 20. Eles então inventaram um novo jogo. Em cada jogada o jogador da vez escolhe um dos grupos e divide em dois grupos menores com quaisquer quantidades de bolinhas em cada um. O jogador que não pode fazer isso perde. (a) Em quantas jogadas o jogo termina? 
(b) Quem ganha? 
(c) Como?

no total há 10+15+20 = 45 bolinhas em jogo.
O jogo acaba quando houverem 45 grupos de bolinha com uma em cada grupo -- situação em que não há mais divisão possível.

(a) o jogo acaba depois de 44 jogadas, i.e., 44 divisões pois agora não há mais duas bolinhas num mesmo grupo.

(b) ganha quem deixar o outro sair primeiro, ou seja, quem jogar em segundo lugar.

(c)
Vamos juntar tudo para entender mais fácil. Como as jogadas são sucessivas e há um nº ímpar de bolinhas, a primeira divisão deixará um grupo com nº par. Ao fim de um tempo (42 jogadas) restará um grupo com 3 bolinhas. A 43ª jogada (lembrando: a do jogador que iniciou) separa este grupo em 1 + 2. Agora somente é possível dividir o grupo de 2 bolinhas; então na 44ª jogada (a do jogador que joga em segundo, isto é, joga nas jogadas pares) têm-se a única possibilidade de dividir o grupo de 2 bolinhas em 1 + 1, e o jogo acaba.

Se não "juntarmos tudo", vai-se dividindo aleatóriamente nos grupos iniciais e de qualquer forma vão ficando grupos com nº par e outros com nº ímpar de bolas. E ao final acabamos com 43 grupos de uma bolinha e um grupo com 3 bolinhas (ou dois grupos de duas bolinhas cada) para as duas jogadas finais. O resultado é o mesmo.