Quadriláteros

por wdsx Ter 20 Set 2011, 19:35

Em um trapézio ABCD de área 1, a base BC mede a metade da base AD. Seja K O ponto médio da diagonal AC. A reta DK Corta o lado AB no ponto L. A área do quadrilátero BCKL é igual a:

a) 3/4

b) 2/3

c) 1/3

d) 2/9

por **adriano tavares** Seg 26 Dez 2011, 21:31

Olá,wdsx.

[img] Quadriláteros Quadrilterobckl

[/img]

PK mede a metade de BC, pois é base média do triângulo BCA.

$PK=\frac{BC}{2} \Rightarrow PK=\frac{x}{2}$

A área do triângulo ADC é o dobro da área do triângulo BCA, pois a sua base é duas vezes maior e ambos t~em a mesma área.

$A_{BCA}=\frac{1}{3}\\\\A_{ADC}=\frac{2}{3}$

Os triângulos KAD e KCA têm a mesma área, pois, ambos têm mesma base e mesma altura.

$A_{KAD}=A_{KCA}=\frac{1}{3}$

Vamos calcular a área do triângulo PKA utilizando a razão entre áreas de figuras semelhantes.

$\frac{A_{PKA}}{A_{BCA}}=(\frac{\frac{x}{2}}{x})^2 \Rightarrow A_{PKA}=\frac{1}{4}A_{BCA}$

$A_{PKA}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3} \Rightarrow A_{PKA}=\frac{1}{12}$

Vamos calcular a razão entre as áreas dos triângulos PKL e LDA, já que eles são semelhantes.

$\frac{A_{PKL}}{A_{LDA}}=\left ( \frac{\frac{x}{2}}{2x} \right )^2\Rightarrow A_{PKL}=\frac{A_{LDA}}{16}$

Note que a área do triângulo LDA é igual a soma das áreas dos triângulos KDA,PKA e PKL.

$A_{PKL}=\frac{1}{16}\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{12}+A_{PLK} \right )\Rightarrow A_{PKL}=\frac{1}{36}$

$A_{BCKP}=\frac{3}{4}.\frac{1}{3}\Rightarrow A_{BCKP}=\frac{1}{4}$

$A_{BCKL}=A_{BCKP}-A_{PKL}\Rightarrow A_{BCKL}=\frac{1}{4}-\frac{1}{36}\Rightarrow A_{BCKL}=\frac{2}{9}$

Alternativa:d

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