Números Complexos

por Iuric Qua 25 Nov 2020, 19:37

Seja [latex]A=(\sqrt{3}+i)^{2\alpha }[/latex], onde alpha é um númeo inteiro positivo. Sabendo que A pertence aos raios calcule o valor de alpha para que as raízes da equação [latex]x(\alpha +i)^{2}+y(3+i)^{2}=0[/latex], sejam números reais não nulos.

Gab:3

Minha resolução:

Spoiler:

Eu cheguei numa hora que existem 2 valores possíveis de alpha e não sei o pq de verificar em A vai me ajudar a descobrir qual dos dois valores é o certo. Também gostaria de saber se meu raciocínio esta certo e se vocês tem alguma solução mais rápida. Desde já, obrigado!!

Se a resolução ficou muito bagunçada, eu desenvolvi as equações elevadas ao quadrado e igualei a parte imaginária a zero, daí escrevi a parte real de y em função de alpha e x.

por **Elcioschin** Qua 25 Nov 2020, 21:06

A = [√3 + i]^2.a --> A = [2.(√3/2 + i/2)]^2.a --> A = 2^2.a.[cos(pi/6) + i.sen(pi/6)]^2.a

A = 2^2.a.[cos(2.a.pi/6) + i.sen(2.a.pi/6)] ---> A = 2^2.a.[cos(a.pi/3) + i.sen(a.pi/3)]

Como A ∈ ℝ ---> sen(a.pi/3) = 0 ---> a.pi/3 = k.pi --> a = 3.k ---> k natural

x.(a + i)² + y.(3 + i)² = 0 ---> x.(a² - 1 + 2.a.i) + y.(8 + 6.i) = 0

x.(9.k² - 1 + 6.k.i) + y.( 8 + 6.i) = 0 ---> Comparando termo a termo

9.k² - 1 = 8 ---> 9.k² = 9 ---> k = 1

6.k = 6 ---> k = 1 --> a = 3

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